問題
空間に平面がある．点とに関して対称な点をで表し，をに移す平面の変換をとする．
(1) は1次変換であることを示し，を表す行列を求めよ．
(2) 点のによる像をとする．を原点として，3点，，が同一直線上にあるような を求め，そのときの，の座標を求めよ．
出典：北海道大学 1993年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期 第2問
方針
平面 の法線ベクトルを使い、点 から平面へ下ろした垂線方向の成分を2倍引けば対称点が得られる。そこから の式を読み、行列を決める。(2)では と置き、 が同一直線上にある条件を で表す。すると となり、 と の4方向を調べればよい。
解答
(1)
平面 の法線ベクトルは である。点 について であり、 である。
点 から平面 へ下ろした垂線の足を とすると、 から までの移動は法線方向に だけ進むことに対応する。したがって、平面に関して対称な点 は である。
よって であり、 である。これは の一次式で表されるから、 は1次変換である。行列は
である。
(2)
とおく。このとき である。 が同一直線上にあるための条件は、 と が平行であること、すなわち である。これに代入すると
である。したがって であり、 である。
まず のとき、単位円上の点なので
であり、 である。このとき である。したがって
である。
次に のとき、単位円上の点なので
であり、 である。このとき だから反射しても 成分は変わらず である。よって
である。