北海道大学 1993年度
後期・理系数学 後期 第1問

解答

(1)

$p_1<p_2<p_3$ である。まず各 $p_i$ における $f$ の値を調べる。 $f(p_1)=(p_1-p_2)(p_1-p_3)>0$ である。なぜなら $p_1-p_2<0$、$p_1-p_3<0$ だからである。また $f(p_2)=(p_2-p_3)(p_2-p_1)<0$ であり、$f(p_3)=(p_3-p_1)(p_3-p_2)>0$ である。 $f(x)$ は2次式で連続だから、$f(p_1)>0$、$f(p_2)<0$ より、$p_1<x<p_2$ に少なくとも1つ解を持つ。同様に $f(p_2)<0$、$f(p_3)>0$ より、$p_2<x<p_3$ にも少なくとも1つ解を持つ。

一方、$f(x)=0$ は2次方程式なので、解は高々2つである。したがって、それぞれの区間にちょうど1つずつ解を持つ。

(2)

以下 $L_1=(x-p_2)(x-p_3),L_2=(x-p_3)(x-p_1),L_3=(x-p_1)(x-p_2)$ とおく。このとき $f(x)=L_1+L_2+L_3,g(x)=a_1{L}_1+a_2{L}_2+a_3{L}_3$ である。

(1)より、$f(x)=0$ の2つの解は $p_1<\alpha <p_2<\beta <p_3$ を満たす。

まず $x=\alpha$ で考える。$p_1<\alpha <p_2$ なので $L_1>0,L_2<0,L_3<0$ である。また $f(\alpha )=0$ より $L_1+L_2+L_3=0$ であるから $L_2=-L_1-L_3$ である。これを $g(\alpha )$ に代入すると

である。ここで $a_1-a_2<0$、$L_1>0$ なので第1項は負、また $a_3-a_2>0$、$L_3<0$ なので第2項も負である。したがって $g(\alpha )<0$ である。

一方 $g(p_1)=a_1(p_1-p_2)(p_1-p_3)>0$ である。よって連続性により、$p_1<x<\alpha$ に $g(x)=0$ の解が少なくとも1つある。

次に $x=\beta$ で考える。$p_2<\beta <p_3$ なので $L_1<0,L_2<0,L_3>0$ である。$f(\beta )=0$ より $L_3=-L_1-L_2$ であるから

である。ここで $a_1-a_3<0$、$L_1<0$ なので第1項は正、また $a_2-a_3<0$、$L_2<0$ なので第2項も正である。したがって $g(\beta )>0$ である。

一方 $g(p_2)=a_2(p_2-p_3)(p_2-p_1)<0$ である。よって連続性により、$p_2<x<\beta$ に $g(x)=0$ の解が少なくとも1つある。 $g(x)=0$ も2次方程式であるから、解は高々2つである。すでに2つの異なる区間に解があるので、それらがすべての解であり、特に指定された2つの区間にそれぞれ1つずつ解を持つ。