問題
平面上の2つの曲線を，とし，曲線上の点における接線をとする．
(1) と曲線が異なる3点で交わるようなの範囲を求めよ．
(2) と曲線が原点以外の点で接するようにを定め，ととで囲まれる図形の面積を求めよ．
方針
まず の接線を と出し、 との交点を三次方程式 にする。(1)は の極値を調べ、極大値が正、極小値が負となる条件で異なる3交点を判定する。(2)では との接点を と置き、傾き一致と通過条件を連立して を求める。最後は重接点を端点とする面積を積分する。
解答
(1)
の導関数は である。したがって、点 における接線 は すなわち である。 との交点は で決まる。そこで とおく。
まず のとき である。よって は単調であり、異なる3つの実数解を持たない。したがって とする。 のとき より、極値をとる は である。ここで とおくと、 で極大、 で極小である。 より である。したがって
である。また
である。
三次方程式 が異なる3つの実数解を持つためには、極大値が正で極小値が負であればよい。極大値はすでに正なので、必要十分条件は である。すなわち であり、 より である。両辺正なので2乗して すなわち である。
(2)
が と原点以外の点で接するとし、その接点の 座標を とおく。 の接線の傾きは である。一方、 の傾きは なので、傾きの一致から すなわち である。
また接点 が直線 上にあるから である。 を代入すると である。右辺を整理して だから である。 より であり、したがって である。このとき である。
交点は すなわち で決まる。ここで であるから、交点の 座標は と であり、 は接点である。
区間 では、例えば で の値は0、直線の値は なので、 が上側にある。したがって囲まれる面積は
である。