問題
中心，半径1の円を，放物線をとする．また，円上に頂点をもつ放物線をとする．
(1) の頂点が以外にあるとき，とは異なる2点で交わることを示せ．
(2) とによって囲まれる図形の面積をとする．の頂点が円上を動くとき，の最大値と，そのときのの座標を求めよ．
出典：北海道大学 1993年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第4問
方針
頂点を とおき、円上条件から を得る。交点は の二次方程式で決まり、判別式が になるので、 から を確認すれば異なる2点が示せる。面積は2つの根を使って差を積の形に直し、幅が の放物線型積分として を求める。最後は円上での の最大値を見る。
解答
頂点を とおく。 は中心 、半径1の円 上にあるから である。これを整理すると である。特に円 上では であり、 なら である。
(1)
と の交点の 座標は で決まる。整理すると である。この二次方程式の判別式は
である。円上条件 を用いると なので である。 より だから であり、 と は異なる2点で交わる。
(2)
交点の 座標は、二次方程式の解の公式より である。そこで とおく。 である。
根の間では上側が 、下側が であり、その差は
である。よって面積は である。、 とおくと
である。したがって である。
円 上で の最大値は、円の最上点で である。ゆえに面積の最大値は であり、そのとき である。