北海道大学 1993年度文系数学前期第2問解答・解説

問題

放物線 $y = x^{2} - 1$ を $C_{1}$ とし，円 $x^{2} + (y - 1)^{2} = 1$ を $C_{2}$ とする．

(1) $C_{1}$ 上に点 $P (t, t^{2} - 1)$ をとる，点 $Q$ が $C_{2}$ 上を動くとき，距離 $P Q$ の最小値 $l (t)$ を求めよ．

(2) $P$ が $C_{1}$ 上を動くとき， $l (t)$ の最小値とそのときの $P$ の座標を求めよ．

出典：北海道大学 1993年度前期日程第2次学力試験文系前期第2問

方針

円の中心を固定して、点 $P$ から円までの最短距離を中心距離から半径を引いた値として扱う。そのために、まず $P$ が常に円の外側にあることを $P R^{2} > 1$ で確認する。あとは $t^{2}$ を一つの変数と見て二次式の最小値を求め、等号条件から点 $P$ の座標を戻す。別解として、円周上の点を直接おいても同じ最短距離が中心方向で生じることを説明する。

解答

円 $C_{2}$ の中心を $R = (0, 1)$ とおく。点 $P$ は $P = (t, t^{2} - 1)$ であるから

P R^{2} = t^{2} + (t^{2} - 2)^{2} = t^{4} - 3 t^{2} + 4

である。ここで $u = t^{2}$ とおくと $P R^{2} = u^{2} - 3 u + 4 = (u - \frac{3}{2})^{2} + \frac{7}{4}$ となる。したがって常に $P R^{2} > 1$ 、すなわち $P$ は円 $C_{2}$ の外部にある。

(1)

円の外部の点 $P$ から円までの最短距離は、中心 $R$ までの距離から半径1を引いた値である。よって $l (t) = P R - 1 = t^{4} - 3 t^{2} + 4 - 1$ である。

(2)

$l (t)$ を最小にすることは $P R^{2}$ を最小にすることと同じである。上で得た $P R^{2} = (t^{2} - \frac{3}{2})^{2} + \frac{7}{4}$ より、最小となるのは $t^{2} = \frac{3}{2}$ のときである。このとき $P R = \frac{7}{4} = \frac{7}{2}$ であるから $l (t)_{m i n} = \frac{7}{2} - 1$ である。また $t = \pm 3/2$ であり、対応する $P$ の $y$ 座標は $t^{2} - 1 = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2}$ である。したがって求める点は

P = (\frac{3}{2}, \frac{1}{2}), P = (- \frac{3}{2}, \frac{1}{2})

である。

別解。 $Q$ を円周上の点として $Q = (cos θ, 1 + sin θ)$ とおくと、 $P Q$ は $P$ と円周上の点との距離である。中心 $R$ を用いると、任意の $Q$ について三角不等式から $P Q ≧ P R - R Q = P R - 1$ である。しかも $R, P, Q$ がこの順に一直線上に並ぶような $Q$ を取れば等号が成り立つ。したがって最短距離はやはり $P R - 1$ であり、以後は上と同じく $P R^{2} = t^{4} - 3 t^{2} + 4$ の最小化に帰着する。

北海道大学 1993年度文系数学 前期 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

北海道大学 1993年度
文系数学前期第2問