問題
平面上の3点を，，とする．1次変換は点を点に移し，を軸で面積が二等分される正三角形に移す．このとき，次の問に答えよ．
(1) 線分と辺の交点をとするとき，長さの比を求めよ．ただし，は原点とする．
(2) のによる像の座標を求めよ．
(3) を表す行列を求めよ．
出典：北海道大学 1993年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第3問
方針
まず を座標で求め、 という線形性に直結する関係を取り出す。 の移り先が と指定されているので、 はすぐ の4分の1になる。最後は、 軸が正三角形の面積を二等分することから、 と反対側の辺の中点が であると読み、残り2頂点を上下対称に置いて行列を決める。
解答
(1)
辺 上の点は、実数 を用いて と表せる。線分 は と原点を通るので、直線としては である。したがって交点では となるから である。よって である。
また なので である。したがって である。
(2)
1次変換では定数倍が保たれるから、 より である。問題文より だから である。
(3)
は の中点でもあるから、 は、 と を結ぶ辺の中点である。正三角形で、頂点 と反対側の辺の中点が なので、 は正三角形の高さであり である。
正三角形の一辺を とすると、高さは である。よって であり、反対側の辺の半分の長さは である。したがって残り2頂点は である。
まず の場合を考える。行列を
とおくと
である。第1成分について より である。第2成分について より である。したがって
である。
上下を入れ替えて とする場合は、第1成分は同じで、第2成分の符号が反対になる。よって
である。以上の2つが求める行列である。