北海道大学 1993年度
文系数学 前期 第1問

解答

(1)

ここでは $b(n)=2^n$ であるから $a_n=2^{2^n}+1$ である。示すべき式は $a_0{a}_1\cdots a_n=2^{2^{n+1}}-1$ である。

まず $n=1$ のとき $a_0{a}_1=(2^1+1)(2^2+1)=3\cdot 5=15=2^4-1=2^{2^2}-1$ となり成り立つ。

次に、ある $n\geqq 1$ で $a_0{a}_1\cdots a_n=2^{2^{n+1}}-1$ が成り立つと仮定する。このとき

である。したがって数学的帰納法により、すべての $n\geqq 1$ について $a_0{a}_1\cdots a_n=2^{b(n+1)}-1$ が成り立つ。

(2)

(1)より $a_0{a}_1\cdots a_n=2^{2^{n+1}}-1$ であるから、右辺に2を加えると $a_0{a}_1\cdots a_n+2=2^{2^{n+1}}+1=a_{n+1}$ を得る。これで前半が示された。

次に $l>m\geqq 1$ とする。(2)前半を $l-1$ に適用すると $a_l=a_0{a}_1\cdots a_{l-1}+2$ である。ここで $m\leqq l-1$ なので、$a_m$ は積 $a_0{a}_1\cdots a_{l-1}$ を割り切る。

いま $a_l$ と $a_m$ の公約数を $d$ とする。すると $d$ は $a_m$ を割り切るので $a_0{a}_1\cdots a_{l-1}$ も割り切り、さらに $a_l$ も割り切る。したがって $d\mid \{a_l-(a_0{a}_1\cdots a_{l-1})\}=2$ である。一方、各 $a_n=2^{2^n}+1$ は奇数であるから、$d$ も奇数である。2を割る奇数は1だけなので $d=1$ である。よって $a_l$ と $a_m$ は1より大きい公約数を持たない。

別解。合同式で見るとさらに短く確認できる。$d$ を $a_m$ と $a_l$ の公約数とする。$d\mid a_m$ より $2^{2^m}\equiv -1(\mathrm{mod}d)$ である。これを $2^{l-m}$ 乗すると、$l>m$ だから指数 $2^{l-m}$ は偶数で、$2^{2^l}\equiv 1(\mathrm{mod}d)$ となる。一方 $d\mid a_l$ から $2^{2^l}\equiv -1(\mathrm{mod}d)$ でもある。よって $1\equiv -1(\mathrm{mod}d)$、すなわち $d\mid 2$ である。各 $a_n$ は奇数なので $d$ も奇数であり、結局 $d=1$ である。