北海道大学 1992年度
後期・理系数学 後期 第4問

解答

まず $15<e^e$ を示す。与えられた値より $\log 15=\log 3+\log 5=1.099+1.609=2.708$ である。一方 $e=2.718$ だから $\log 15<e$ である。対数関数は増加するので $15<e^e$ を得る。

次に $e^e<15.5$ を示す。 $15.5=15\cdot \frac{31}{30}$ である。ここで $x>0$ に対して $\log (1+x)>\frac{x}{1+x}$ が成り立つ。これは，$\log (1+x)={\int }_1^{1+x}\frac{1}{t}dt$ と見れば，区間 $[1,1+x]$ で $1/t\geqq 1/(1+x)$ であり，内部ではより大きいことから分かる。 $x=\frac{1}{30}$ とすると $\log \frac{31}{30}>\frac{1/30}{31/30}=\frac{1}{31}$ である。したがって $\log 15.5=\log 15+\log \frac{31}{30}>2.708+\frac{1}{31}$ である。ここで $\frac{1}{31}>0.032$ だから $\log 15.5>2.740$ である。これは $2.718=e$ より大きいので $e<\log 15.5$ であり，$e^e<15.5$ となる。

以上より $15<e^e<15.5$ である。したがって $e^e$ に最も近い整数は $15$ である。