北海道大学 1992年度
後期・理系数学 後期 第2問

解答

円錐の軸を含む平面で断面を考える。円錐の底面半径を $r$，高さを $h$，母線の長さを $l$ とする。また，母線が軸となす角を $\theta$ とおく。すると $r=l\sin \theta ,h=l\cos \theta$ である。

断面では，半径 $a$ の半円が二等辺三角形の2つの斜辺に接している。半球の中心から斜辺までの距離が $a$ なので，直角三角形の面積を用いて $\frac{rh}{l}=a$ である。上の $r=l\sin \theta$，$h=l\cos \theta$ を代入すると $l\sin \theta \cos \theta =a$ となる。したがって

である。

底面積と側面積の和を $S$ とすると $S=\pi r^2+\pi rl$ である。これに上の式を代入して

である。$s=\sin \theta$ とおくと $0<s<1$，${\cos }^2\theta =1-s^2$ であり，$S=\pi a^2\cdot \frac{1+1/s}{1-s^2}=\pi a^2\cdot \frac{1}{s(1-s)}$ となる。

したがって $S$ を最小にするには，$s(1-s)$ を最大にすればよい。$0<s<1$ で $s(1-s)=\frac{1}{4}-{\left(s-\frac{1}{2}\right)}^2\leqq \frac{1}{4}$ であり，最大は $s=\frac{1}{2}$ のときである。このとき $S_{\min }=\pi a^2\cdot 4=4\pi a^2$ である。よって求める最小値は $4\pi a^2$ である。