問題
空間で，次の条件(C)を満たす球面の中心が描く図形の方程式を求めよ．
(C): は原点を通り，と球面との共通部分は半径の円である．
出典：北海道大学 1992年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期 第1問
方針
球面 の中心を とし， とおく。 は原点を通るので半径も である。 の方程式と単位球面 の方程式を差し引くと，共通部分が単位球面をある平面で切った円であることが分かる。その平面の原点からの距離を求め，切り口の円の半径が になる条件から を決める。
解答
球面 の中心を とし， とおく。 は原点を通るので， の半径も である。したがって の方程式は である。これを展開し， を使うと となる。
一方，もう一つの球面は である。共通部分ではこの式を上の式に代入できるので すなわち である。つまり共通部分は，単位球面を平面 で切った円である。
この平面と原点との距離は である。単位球面を原点から距離 の平面で切ると，切り口の円の半径 は を満たす。条件より だから である。これを解くと となる。
したがって中心 が描く図形は である。通常の座標名で書けば である。