北海道大学 1992年度
後期・理系数学 後期 第3問

解答

(1)

全事象の数は $2^m$ である。事象 $A$ は，全部表または1個だけ裏である場合だから $P(A)=\frac{1+m}{2^m}$ である。事象 $B$ は，全部表と全部裏を除いた場合だから $P(B)=\frac{2^m-2}{2^m}$ である。また $A\cap B$ は，少なくとも $m-1$ 個表で，かつ表も裏も少なくとも1個ある場合なので，ちょうど1個だけ裏の場合である。したがって $P(A\cap B)=\frac{m}{2^m}$ である。

独立であるための条件は $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ であるから $\frac{m}{2^m}=\frac{m+1}{2^m}\cdot \frac{2^m-2}{2^m}$ である。整理すると $m{2}^m=(m+1)(2^m-2)$ となり，$2^m=2(m+1)$ を得る。 $m=2$ では左辺4，右辺6で不成立である。$m=3$ では左辺8，右辺8で成立する。$m\geqq 4$ では $2^{m-1}-(m+1)$ は正で，さらに $m$ が1増えるごとに増加するので，これ以後は成立しない。よって $m=3$ である。

(2)

表が $k$ 個出る確率は $\frac{{}_m{\mathrm{C}}_k}{2^m}$ である。このとき $X=2^k$ だから $E(X)={\sum }_{k=0}^m{2}^k\frac{{}_m{\mathrm{C}}_k}{2^m}$ である。二項定理より ${\sum }_{k=0}^m{}_m{\mathrm{C}}_k{2}^k=3^m$ なので $E(X)=\frac{3^m}{2^m}={\left(\frac{3}{2}\right)}^m$ である。

次に ${\left(\frac{3}{2}\right)}^m>100$ となる最小の $m$ を求める。常用対数を取ると $m{\log }_{10}\frac{3}{2}>2$ である。与えられた値より ${\log }_{10}\frac{3}{2}={\log }_{10}3-{\log }_{10}2=0.477-0.301=0.176$ である。したがって $m>\frac{2}{0.176}=11.36\cdots$ である。よって最小の整数は $12$ である。