問題
とし，曲線をとする．点におけるの接線の方程式をとする．
(1) ，を求めよ．
(2) であるすべてのに対して，
が成り立つようにの範囲を定めよ．
(3) 曲線の接線がと接点のみを共有するようにの値を定め，さらに直線と曲線および軸とで囲まれる図形の面積を求めよ．
出典：北海道大学 1992年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第4問
方針
接線の傾きは ，切片は から求める。(2)では と接線の差を因数分解し， が常に0以上であることから，残りの一次因子の符号を 全体で調べる。(3)では，接線と曲線の交点が接点だけになるためには，(2)の因数分解に現れるもう一つの交点が と一致する必要がある。面積は のときの曲線と接線の差を で積分する。
解答
(1)
より である。したがって接線の傾きは である。
接線は点 を通るので と書ける。よって切片は であり， である。
(2)
接線と曲線の差を計算する。 である。これは で接しているため を因数にもつ。実際に整理すると となる。 であるから， のすべての で不等式が成り立つためには であればよい。左辺 は が大きいほど小さいので， で最小になるのは のときである。したがって が必要十分である。よって である。
(3)
接線と曲線の共有点は から決まる。接点 以外の共有点をもたないためには でなければならない。したがって である。
このとき なので，接線は である。曲線との差は である。 ではこの値は0以上であり， 軸，曲線，接線で囲まれる図形はこの区間にある。よって面積は である。計算して を得る。求める面積は である。