北海道大学 1992年度文系数学前期第2問解答・解説

問題

行列 $A = (a c b d)$ で表される1次変換 $f$ が単位円 $x^{2} + y^{2} = 1$ を単位円に移し，さらに単位円上のすべての点 $P$ に対して $f (P) \neq = P$ とする．このような1次変換 $f$ を決定せよ．

出典：北海道大学 1992年度前期日程第2次学力試験文系前期第2問

方針

単位円上の点を再び単位円上へ送る条件を， $(a x + b y)^{2} + (c x + d y)^{2} = x^{2} + y^{2}$ がすべての $x, y$ で成り立つこととして係数比較する。すると列ベクトルが長さ1で互いに直角であることが分かり，回転型と反転型の2種類に分かれる。反転型は単位円上に動かない点を必ずもつので除外し，回転型では角が0でないものだけが残る。

解答

単位円上の任意の点 $(x, y)$ に対して，変換後の点も単位円上にある。したがって $(a x + b y)^{2} + (c x + d y)^{2} = x^{2} + y^{2}$ がすべての $x, y$ について成り立つ。係数を比較すると $a^{2} + c^{2} = 1, b^{2} + d^{2} = 1, ab + c d = 0$ である。

これは，2つの列ベクトル

(a c), (b d)

がともに長さ1で，互いに直角であることを意味する。よって，ある角 $θ$ を用いて，行列は次のどちらかの形に書ける。

(cos θ sin θ - sin θ cos θ)

または

(cos θ sin θ sin θ - cos θ)

である。

後者について調べる。この行列に対して，方向 $(cos \frac{θ}{2}, sin \frac{θ}{2})$ の単位ベクトルは変わらない。したがって単位円上に $f (P) = P$ となる点が存在するので，問題の条件を満たさない。

前者は原点中心の回転である。 $θ$ が $2 π$ の整数倍ならすべての点が動かないので条件に反する。一方， $θ$ が $2 π$ の整数倍でなければ，単位円上の点が自分自身に戻ることはない。

したがって求める変換は $f (x, y) = (x cos θ - y sin θ, x sin θ + y cos θ)$ ただし $θ \neq \equiv 0 (mod 2 π)$ である。たとえば $0 ≦ θ < 2 π$ で表すなら $0 < θ < 2 π$ である。

北海道大学 1992年度文系数学 前期 第2問

問題

方針

解答

北海道大学 1992年度
文系数学前期第2問