問題
(1) がすべての実数を動くとき，円が動く範囲を図示せよ．
(2) が0以上のすべての実数を動くとき，が動く範囲を図示せよ．
出典：北海道大学 1992年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第1問
方針
点 がどれかの円 上にある条件を， についての2次方程式が実数解をもつ条件に直す。(1)では がすべての実数を動くので判別式だけでよい。(2)では解が に存在する必要があるため， で既に円内に入る場合と，外側で正の解をもつ場合に分ける。最後は境界 ，単位円，直線 の位置関係を意識して図示する。
解答
(1)
点 が円 上にあるとする。式を について整理すると である。したがって，ある実数 が存在するための条件は，この2次方程式が実数解をもつことである。
判別式を調べると である。よって条件は すなわち である。したがって， がすべての実数を動くときに円が通る範囲は である。境界は双曲線 であり，その双曲線を含んで が大きい側を塗ればよい。
(2)
同じ2次方程式 が， の範囲に解をもつ条件を考える。
まず ならば である。 は上に開く2次式なので， を十分大きくすると正になる。したがって， に解が存在する。
次に とする。このとき であるから， に解をもつには，正の側で2次式がいったん0以下になる必要がある。 の軸は である。したがってまず が必要である。そのうえで実数解をもつ条件は(1)と同じく である。これらは十分でもある。
以上より， のときに円が通る範囲は または である。図示では，単位円の内部全体を含み，その外側では直線 の右上側で，かつ双曲線 の条件を満たす部分を加えればよい。