北海道大学 1992年度文系数学前期第3問解答・解説

問題

$r$ を0でない実数とする．数列 ${a_{n}}$ を $a_{1} = r$ ， $a_{n} = r + \frac{1}{r} a_{n - 1}$ $(n ≧ 2)$ で定める．

(1) $a_{n}$ を求めよ．

(2) $b_{1} = r$ ， $b_{n} = a_{n} + b_{n - 1}$ $(n ≧ 2)$ を満たす数列 ${b_{n}}$ の第 $n$ 項を求めよ．

出典：北海道大学 1992年度前期日程第2次学力試験文系前期第3問

方針

漸化式 $a_{n} = r + \frac{1}{r} a_{n - 1}$ は， $r = 1$ と $r \neq = 1$ で形が変わる。 $r \neq = 1$ では一定値 $L$ を引いて等比数列に直す。(2)は定義から $b_{n} = a_{1} + \dots + a_{n}$ であることをまず確認し，(1)で求めた $a_{n}$ を和にする。 $r = 1$ の場合を別に扱い， $r \neq = 1$ では等比数列の和を丁寧に整理する。

解答

(1)

まず $r = 1$ の場合を考える。このとき $a_{n} = 1 + a_{n - 1}, a_{1} = 1$ であるから $a_{n} = n$ である。

次に $r \neq = 1$ とする。漸化式 $a_{n} = r + \frac{1}{r} a_{n - 1}$ の一定値を $L$ とおくと $L = r + \frac{1}{r} L$ である。これを解いて $L = \frac{r ^{2}}{r - 1}$ を得る。したがって $a_{n} - L = \frac{1}{r} (a_{n - 1} - L)$ である。これを繰り返すと $a_{n} - L = (\frac{1}{r})^{n - 1} (a_{1} - L)$ となる。ここで $a_{1} - L = r - \frac{r ^{2}}{r - 1} = - \frac{r}{r - 1}$ であるから， $a_{n} = \frac{r ^{2}}{r - 1} - \frac{r ^{2 - n}}{r - 1} = \frac{r ^{2} - r ^{2 - n}}{r - 1}$ である。

以上より

a_{n} = ⎩ ⎨ ⎧ n \frac{r ^{2} - r ^{2 - n}}{r - 1} (r = 1), (r \neq = 1)

である。

(2)

定義より $b_{n} = a_{n} + b_{n - 1}, b_{1} = a_{1}$ であるから $b_{n} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}$ である。 $r = 1$ のとき，(1)より $a_{k} = k$ なので $b_{n} = 1 + 2 + \dots + n = \frac{n ( n + 1 )}{2}$ である。 $r \neq = 1$ のとき，(1)より

b_{n} = k = 1 \sum n \frac{r ^{2} - r ^{2 - k}}{r - 1} = \frac{n r ^{2}}{r - 1} - \frac{1}{r - 1} k = 1 \sum n r^{2 - k}

である。ここで

k = 1 \sum n r^{2 - k} = r + r^{0} + r^{- 1} + \dots + r^{2 - n} = \frac{r ^{2} ( 1 - r ^{- n} )}{r - 1}

だから $b_{n} = \frac{n r ^{2}}{r - 1} - \frac{r ^{2} ( 1 - r ^{- n} )}{( r - 1 ) ^{2}}$ である。

したがって

b_{n} = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{n ( n + 1 )}{2} \frac{n r ^{2}}{r - 1} - \frac{r ^{2} ( 1 - r ^{- n} )}{( r - 1 ) ^{2}} (r = 1), (r \neq = 1)

である。

北海道大学 1992年度文系数学 前期 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

北海道大学 1992年度
文系数学前期第3問