問題
空間に3点，，と半径の球がある．球は座標正の中心をもち，3つの線分，，に接している．
(1) 球の中心の座標を求めよ．
(2) 球の平面より上にある部分の体積を求めよ．
出典：北海道大学 1991年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第5問
方針
球の中心を 、その 平面への射影を と見る。3辺 への距離が等しいので、 は直角二等辺三角形 の内心である。内接円の半径から の座標を出し、球の半径 との距離条件で高さを決める。体積は中心を基準にした水平断面 を 平面より上の範囲で積分する。
解答
(1)
球の中心を とし、その 平面への射影を とする。
球が3つの線分 に接しているので、中心 からこれら3辺までの距離はいずれも球の半径 である。高さ は3辺に対して共通なので、射影 は三角形 の3辺から等距離にある。したがって は三角形 の内心である。
三角形 は の直角二等辺三角形である。面積は であり、半周長は である。よって内接円の半径は である。対称性より となる。
中心 から辺 までの距離は、 から までの距離 と高さ を用いて である。これが球の半径 に等しいので である。ここで だから である。中心は 座標正の側にあるので である。したがって球 の中心は である。
(2)
球の半径を とし、中心の高さを とする。中心を基準にした高さを とおくと、水平断面の半径の2乗は である。したがって、その断面積は である。 平面は中心から見て の高さにあり、球の上端は である。よって求める体積は である。これを計算すると
である。
ここで であり、また である。したがって
である。よって である。