問題
曲線上の点における接線は，つねに点と点を結ぶ直線と直交している．
(1) の満たす微分方程式を求めよ．
(2) 曲線が直線と接するとき，曲線の方程式を求めよ．
出典：北海道大学 1991年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第3問
方針
接線の傾きと、点 から へ向かう直線の傾きを掛けて にする。これにより微分方程式 を得る。積分すると中心 の円族になるので、与えられた直線に接する条件は中心から直線までの距離が半径に等しいことに読み替える。
解答
(1)
点 を とする。曲線 の接線の傾きは である。一方、点 と点 を結ぶ直線の傾きは である。
この2直線が直交するので、傾きの積は である。したがって となり、整理して を得る。
(2)
(1)の微分方程式を積分する。 より と見て積分すると である。両辺を2倍して整理すると すなわち と書ける。したがって曲線 は中心 、半径 の円である。
直線 は と書ける。この直線と円が接するためには、中心 から直線までの距離が半径 に等しければよい。よって
である。したがって求める曲線は である。
別解。(2)については、接線が常に と直交することから、 は円の半径の向きになっていると読める。つまり曲線は点 を中心とする円である。あとはその円が直線 に接する条件だけを使えばよく、半径は中心から直線までの距離 である。よって同じく を得る。