北海道大学 1991年度理系数学前期第2問解答・解説

問題

実数 $t$ に対し

x (t) = \frac{2 ^{t} + 2 ^{- t}}{2}, y (t) = \frac{2 ^{t} - 2 ^{- t}}{2}

とおく． $t$ が実数全体を動くとき，3点 $(x (t), y (t))$ ， $(x (t + 1), y (t + 1))$ ， $(x (t + 2), y (t + 2))$ を頂点とする三角形の重心の軌跡を求めよ．

出典：北海道大学 1991年度前期日程第2次学力試験理系前期第2問

方針

$u = 2^{t}$ と置くと、3点は $u, 2 u, 4 u$ に対応する形でそろう。重心の座標 $(X, Y)$ を直接計算し、 $X + Y$ と $X - Y$ を見ると $u$ と $1/ u$ が分離する。そこから $X^{2} - Y^{2}$ を一定にし、さらに $u > 0$ によって右側の枝だけが現れること、逆にその枝の各点がある $u$ で実現することを確認する。

解答

$u = 2^{t}$ とおくと $u > 0$ である。また $2^{t + 1} = 2 u, 2^{t + 2} = 4 u$ である。

一般に正の数 $v$ に対して、点は $(\frac{v + v ^{- 1}}{2}, \frac{v - v ^{- 1}}{2})$ と表される。したがって、3点に対応する $v$ は $u, 2 u, 4 u$ である。

重心を $(X, Y)$ とする。まず $X$ 座標は

X = \frac{1}{3} {\frac{u + u ^{- 1}}{2} + \frac{2 u + ( 2 u ) ^{- 1}}{2} + \frac{4 u + ( 4 u ) ^{- 1}}{2}} = \frac{1}{6} (7 u + \frac{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4}}{u}) = \frac{1}{6} (7 u + \frac{7}{4 u})

である。同じように $Y$ 座標は

Y = \frac{1}{3} {\frac{u - u ^{- 1}}{2} + \frac{2 u - ( 2 u ) ^{- 1}}{2} + \frac{4 u - ( 4 u ) ^{- 1}}{2}} = \frac{1}{6} (7 u - \frac{7}{4 u})

である。

よって $X + Y = \frac{7 u}{3}, X - Y = \frac{7}{12 u}$ である。これらを掛けると $X^{2} - Y^{2} = (X + Y) (X - Y) = \frac{49}{36}$ となる。また $X + Y > 0$ 、 $X - Y > 0$ なので $X > 0$ である。

逆に、 $X^{2} - Y^{2} = 49/36$ 、 $X > 0$ を満たす点では $X > ∣ Y ∣$ だから $X + Y > 0$ である。そこで $u = \frac{3 ( X + Y )}{7}$ とおけば $u > 0$ であり、条件 $(X + Y) (X - Y) = 49/36$ から $X - Y = \frac{49}{36 ( X + Y )} = \frac{7}{12 u}$ も成り立つ。したがってこの枝上の点はすべて重心として現れる。

以上より、重心の軌跡は $x^{2} - y^{2} = \frac{49}{36}, x > 0$ である。

北海道大学 1991年度理系数学 前期 第2問

問題

方針

解答

北海道大学 1991年度
理系数学前期第2問