北海道大学 1991年度理系数学前期第4問解答・解説

問題

次の問に答えよ．

(1) $n \to \infty lim \frac{1}{n} {k = n + 1 \sum 2 n lo g k - n lo g n} = \int_{1}^{2} lo g x d x$ を示せ．

(2) $n \to \infty lim (\frac{( 2 n ) !}{n ! n ^{n}})^{\frac{1}{n}}$ を求めよ．

出典：北海道大学 1991年度前期日程第2次学力試験理系前期第4問

方針

(1)は和の中の $lo g k - n lo g n$ を $lo g (k / n)$ の和に直し、 $k = n + j$ と置いて区間 $[1, 2]$ の幅 $1/ n$ の和として読む。(2)は与えられた式の対数を取ると(1)と同じ形になるので、極限を先に対数で求め、最後に指数に戻す。定積分 $\int_{1}^{2} lo g x d x$ は部分積分で具体的に計算する。

解答

(1)

左辺の中括弧の中を整理する。

k = n + 1 \sum 2 n lo g k - n lo g n = k = n + 1 \sum 2 n (lo g k - lo g n) = k = n + 1 \sum 2 n lo g \frac{k}{n}

である。したがって

\frac{1}{n} {k = n + 1 \sum 2 n lo g k - n lo g n} = \frac{1}{n} k = n + 1 \sum 2 n lo g \frac{k}{n}

である。

ここで $k = n + j$ とおくと、 $j = 1, 2, \dots, n$ であり $\frac{k}{n} = 1 + \frac{j}{n}$ である。よって上の式は $\frac{1}{n} \sum_{j = 1}^{n} lo g (1 + \frac{j}{n})$ となる。これは区間 $[0, 1]$ を幅 $1/ n$ に分けたときの関数 $lo g (1 + x)$ の和であるから

n \to \infty lim \frac{1}{n} j = 1 \sum n lo g (1 + \frac{j}{n}) = \int_{0}^{1} lo g (1 + x) d x

である。変数を $u = 1 + x$ と置き換えれば $\int_{0}^{1} lo g (1 + x) d x = \int_{1}^{2} lo g u d u$ なので

n \to \infty lim \frac{1}{n} {k = n + 1 \sum 2 n lo g k - n lo g n} = \int_{1}^{2} lo g x d x

が示された。

(2)

まず $\frac{( 2 n )!}{n ! n ^{n}} = \frac{( n + 1 ) ( n + 2 ) \dots ( 2 n )}{n ^{n}}$ である。求める極限の対数を考えると

lo g {(\frac{( 2 n )!}{n ! n ^{n}})^{1/ n}} = \frac{1}{n} lo g \frac{( n + 1 ) ( n + 2 ) \dots ( 2 n )}{n ^{n}}

である。右辺は(1)の左辺と同じなので、極限は $\int_{1}^{2} lo g x d x$ である。

この定積分を計算する。部分積分により $\int lo g x d x = x lo g x - x$ であるから

\int_{1}^{2} lo g x d x = [x lo g x - x]_{1}^{2} = (2 lo g 2 - 2) - (- 1) = 2 lo g 2 - 1

である。

したがって、求める極限を $L$ とすると $lo g L = 2 lo g 2 - 1$ である。よって $L = e^{2 l o g 2 - 1} = \frac{4}{e}$ であり、答えは $\frac{4}{e}$ である。

北海道大学 1991年度理系数学 前期 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

北海道大学 1991年度
理系数学前期第4問