北海道大学 1991年度
後期・理系数学 後期 第4問

解答

回転体の体積は $V(a)=\pi {\int }_a^{a+1}\frac{1}{(e^x+e^{-x+4}{)}^2}dx$ である。ここで $\varphi (x)=\frac{1}{(e^x+e^{4-x}{)}^2}$ とおく。

まず $\varphi (x)$ の形を調べる。$x=2+s$ とおくと $e^x+e^{4-x}=e^{2+s}+e^{2-s}=e^2(e^s+e^{-s})$ である。したがって $\varphi (x)$ は $x=2$ を中心に左右対称である。また $s>0$ のとき $\frac{d}{ds}(e^s+e^{-s})=e^s-e^{-s}>0$ なので、$e^s+e^{-s}$ は $s>0$ で増加する。よって $\varphi (x)$ は $x=2$ で最大となり、$x=2$ から離れるほど小さくなる。

次に $V(a)$ を微分する。積分区間の両端が $a$ と $a+1$ なので $V^{\prime }(a)=\pi \{\varphi (a+1)-\varphi (a)\}$ である。 $a<\frac{3}{2}$ のとき $|a+1-2|=|a-1|<|a-2|$ であるから、$a+1$ の方が $2$ に近い。したがって $\varphi (a+1)>\varphi (a)$ となり $V^{\prime }(a)>0$ である。

一方、$a>\frac{3}{2}$ のときは $|a+1-2|>|a-2|$ であるから $\varphi (a+1)<\varphi (a)$ となり $V^{\prime }(a)<0$ である。$a=\frac{3}{2}$ では両端 $a$ と $a+1$ が中心 $2$ から等距離にあるので $\varphi (a+1)=\varphi (a)$ である。

よって $V(a)$ は $a<\frac{3}{2}$ で増加し、$a>\frac{3}{2}$ で減少する。したがって最大となるのは $\boxed{a=\frac{3}{2}}$ である。