問題
点を通り軸と平行な直線をとし，方程式
で定まる直線をとする．直線上に中心をもつ球が軸およびと接している．球の半径と球の中心の座標を求めよ．
出典：北海道大学 1991年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期 第2問
方針
直線 上の点を共通値 でパラメータ表示し、それを球の中心 とおく。球が 軸と直線 の両方に接するので、中心から2直線までの距離が等しい。距離は2乗で比較し、得られる を中心座標へ戻して、最後に半径をどちらか一方の距離で求める。
解答
直線 は で表されている。共通の値を とおくと、 上の点は と表される。球の中心をこの点
とおく。 軸は を満たす直線なので、点 から 軸までの距離の2乗は である。
また、直線 は点 を通り 軸に平行であるから と表せる。したがって点 から までの距離の2乗は、 座標と だけを見ればよく である。
球が2直線に接しているので、これら2つの距離は球の半径に等しい。よって距離の2乗を等しくして
を得る。両辺を整理すると
であり、さらに10倍して となる。展開して整理すると すなわち である。したがって である。
これを中心の座標に戻すと である。半径は、たとえば 軸までの距離を用いて だから である。よって である。