問題
(1) の3次方程式
の解で，すべての実数に共通なものを求めよ．
(2) 上の方程式の解がすべて実数であるようなの範囲で，(1)の共通解以外の2つの解を，としたとき，の最大値と最小値を求めよ．
出典：北海道大学 1991年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期 第1問
方針
(1)は3次式を の多項式として見直し、すべての に共通する解なら 定数項の係数が同時に0になることを使う。(2)は共通解 を因数としてくくり、残りの2次方程式の判別式から実数解条件を出す。さらに2解の和と積を使って を だけで表し、許された の範囲で最大・最小を調べる。
解答
(1)
与えられた3次方程式の左辺を について整理する。
である。
ある がすべての実数 に共通な解であるなら、この式は の値にかかわらず0でなければならない。したがって少なくとも が必要である。よって候補は である。実際に を代入すると となるので、すべての で解である。したがって共通解は である。
(2)
(1)より、左辺は で割り切れる。実際に因数分解すると である。
共通解以外の2つの解が実数であるためには、2次方程式 の判別式が0以上であればよい。したがって すなわち である。よって つまり である。
この2つの解を とおく。解と係数の関係より である。問題では なので である。
条件 のもとで考える。 では であり、 では である。したがって最大値は のとき であり、最小値は のとき である。よって である。