北海道大学 1991年度後期・理系数学後期第3問解答・解説

問題

曲線 $y = sin x$ $(- \frac{π}{2} < x < \frac{π}{2})$ 上の点 $P (x, sin x)$ と $x$ 軸の点 $Q (q, 0)$ は長さ1の線分で結ばれ， $q ≦ x$ を満たしながら移動している．

(1) $q$ を $x$ で表せ．

(2) 点 $P$ が速さ1で右方向に動いているとき，点 $Q$ の速さを $x$ で表せ．とくに，点 $P$ が原点を通る瞬間の点 $Q$ の速さを求めよ．

出典：北海道大学 1991年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第3問

方針

長さ条件 $P Q = 1$ を座標で書き、 $q ≦ x$ と $- π /2 < x < π /2$ から $x - q = cos x$ の符号を決める。速さの問題では、点 $P$ が曲線上を速さ1で動くので、弧長の微分 $d s / d t = 1 + cos^{2} x d x / d t$ を使う。最後に $q = x - cos x$ を微分して $d q / d t$ を出す。

解答

(1)

点 $P$ は $P = (x, sin x)$ であり、点 $Q$ は $Q = (q, 0)$ である。 $P Q = 1$ より $(x - q)^{2} + (sin x)^{2} = 1$ である。したがって $(x - q)^{2} = 1 - sin^{2} x = cos^{2} x$ となる。

ここで $- \frac{π}{2} < x < \frac{π}{2}$ だから $cos x > 0$ である。また条件より $q ≦ x$ なので $x - q ≧ 0$ である。よって $x - q = cos x$ となり $q = x - cos x$ である。

(2)

点 $P$ は曲線 $y = sin x$ 上を動く。 $x$ が時間 $t$ の関数であるとすると、弧長の速さは

\frac{d s}{d t} = 1 + (\frac{d y}{d x})^{2} \frac{d x}{d t} = 1 + cos^{2} x \frac{d x}{d t}

である。点 $P$ は右方向に速さ1で動くので $d x / d t > 0$ かつ $1 = 1 + cos^{2} x \frac{d x}{d t}$ である。したがって $\frac{d x}{d t} = \frac{1}{1 + c o s ^{2} x}$ である。

(1)より $q = x - cos x$ なので $\frac{d q}{d x} = 1 + sin x$ である。したがって

\frac{d q}{d t} = \frac{d q}{d x} \frac{d x}{d t} = \frac{1 + sin x}{1 + cos ^{2} x}

である。範囲内では $1 + sin x > 0$ だから、これが点 $Q$ の速さである。

点 $P$ が原点を通る瞬間は $x = 0$ である。このとき $\frac{1 + s i n 0}{1 + c o s ^{2} 0} = \frac{1}{2}$ である。よって

点 Q の速さ \frac{1 + sin x}{1 + cos ^{2} x}, x = 0 では \frac{1}{2}

である。

北海道大学 1991年度後期・理系数学 後期 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

北海道大学 1991年度
後期・理系数学後期第3問