北海道大学 1991年度
文系数学 前期 第4問
- 試験区分
- 前期日程 第2次学力試験
- 対象
- 文系
- 分野
- 積分、関数
- 解法
- 恒等式比較、定積分評価、計算整理
- 難易度
- 4 / 10 計算量 3 / 10 目安 13分
問題
xの1次式f(x)に対しF(x)=x∫12x+3f(t)dtとおく．F(1)=2，F′(0)=−10となるようにf(x)を定めよ．
出典：北海道大学 1991年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第4問
方針
f(x) を1次式 ax+b とおく。条件 F(1)=2 はそのまま定積分を計算して1本目の一次方程式にする。条件 F′(0)=−10 は積の微分と上端が 2x+3 であることに注意し、x=0 では上端微分から来る項が消えることを確認して2本目の一次方程式にする。
解答
f(x) は1次式なので f(x)=ax+b とおく。
まず F(1)=1⋅∫15(at+b)dt である。したがって
F(1)=[2at2+bt]15=2a(25−1)+b(5−1)=12a+4b
である。F(1)=2 より 12a+4b=2 すなわち 3a+b=21 を得る。
次に I(x)=∫12x+3f(t)dt とおくと F(x)=xI(x) である。よって F′(x)=I(x)+xI′(x) である。ここで I′(x)=2f(2x+3) だが、x=0 を代入すると第2項 xI′(x) は消える。したがって F′(0)=I(0)=∫13(at+b)dt である。これを計算すると
F′(0)=[2at2+bt]13=2a(9−1)+b(3−1)=4a+2b
である。F′(0)=−10 より 4a+2b=−10 すなわち 2a+b=−5 である。
連立方程式
{3a+b=21,2a+b=−5
を解く。上の式から下の式を引くと a=211 であり、これを 2a+b=−5 に代入して b=−16 を得る。したがって f(x)=211x−16 である。
