北海道大学 1991年度
文系数学 前期 第3問

解答

$n=2$ のとき、左辺は $\frac{1}{\sqrt{2}}$ であり、右辺は $2\sqrt{2}-2$ である。差をとると $2\sqrt{2}-2-\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}-2$ である。$3\sqrt{2}>4$ だから $\frac{3\sqrt{2}}{2}-2>0$ であり、$n=2$ で不等式は成り立つ。

次に、ある $n\geqq 2$ で $\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{n}}<2\sqrt{n}-2$ が成り立つと仮定する。この両辺に $1/\sqrt{n+1}$ を加えると

である。

ここで右辺の追加分を比較する。まず $2\sqrt{n+1}-2\sqrt{n}=\frac{2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$ である。一方、$\sqrt{n}<\sqrt{n+1}$ より $\sqrt{n+1}+\sqrt{n}<2\sqrt{n+1}$ だから $\frac{2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}>\frac{1}{\sqrt{n+1}}$ である。したがって

となる。よって $\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{n+1}}<2\sqrt{n+1}-2$ が成り立つ。

以上より、数学的帰納法によって、すべての $n\geqq 2$ で

が成り立つ。