問題
平面上に3点，，があり，点は内積に関する条件
を満たしながら平面上を動いている．
(1) 点の軌跡を求めよ．
(2) の最大値と最小値を求めよ．
出典：北海道大学 1991年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第2問
方針
内積条件を座標で展開し、まず点 の軌跡を円として決定する。積 は直接扱うより、2乗して に直すと だけの式になる。軌跡上で取り得る の範囲と等号成立点を確認し、最後に積そのものは正であることを使って最大・最小を戻す。
解答
(1)
であるから である。したがって条件式
は となる。
点 を とおくと である。よって
となる。これが に等しいので すなわち である。したがって点 の軌跡は、原点を中心とする半径 の円である。
(2)
(1)より、軌跡上では である。このとき
である。求める積を とおくと、 であり である。
円 上では であるから である。したがって となる。 なので である。
最大値 は 、たとえば で実現する。最小値 は 、すなわち で実現する。よって である。