北海道大学 1991年度文系数学前期第1問解答・解説

問題

$x$ についての2次方程式 $x^{2} - 2 p x + p^{2} - 2 p - 1 = 0$ の2つの解を $α$ ， $β$ とする． $\frac{1}{2} \frac{( α - β ) ^{2} - 2}{( α + β ) ^{2} + 2}$ が整数となる実数 $p$ をすべて求めよ．

出典：北海道大学 1991年度前期日程第2次学力試験文系前期第1問

方針

まず2次方程式が実数解をもつ条件を判別式から確認する。次に、解と係数の関係で $α + β$ 、 $α β$ 、 $(α - β)^{2}$ をすべて $p$ で表し、与えられた式を1変数関数 $g (p)$ に直す。最後は $p ≧ - \frac{1}{2}$ における $g (p)$ の範囲を押さえ、整数になり得る値だけを代入して調べる。

解答

2つの解を $α, β$ とする。判別式を調べると $D = (- 2 p)^{2} - 4 (p^{2} - 2 p - 1) = 8 p + 4$ である。2つの解が実数であるためには $8 p + 4 ≧ 0$ すなわち $p ≧ - \frac{1}{2}$ が必要である。

解と係数の関係より $α + β = 2 p, α β = p^{2} - 2 p - 1$ である。また $(α - β)^{2} = (α + β)^{2} - 4 α β = 4 p^{2} - 4 (p^{2} - 2 p - 1) = 8 p + 4$ である。したがって、与えられた式を $g (p)$ とおくと

g (p) = \frac{1}{2} \cdot \frac{( α - β ) ^{2} - 2}{( α + β ) ^{2} + 2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{8 p + 4 - 2}{4 p ^{2} + 2} = \frac{4 p + 1}{4 p ^{2} + 2}

となる。

ここで $p ≧ - \frac{1}{2}$ における $g (p)$ の範囲を調べる。上からは $1 - g (p) = \frac{4 p ^{2} + 2 - ( 4 p + 1 )}{4 p ^{2} + 2} = \frac{( 2 p - 1 ) ^{2}}{4 p ^{2} + 2} ≧ 0$ なので $g (p) ≦ 1$ である。下からは

g (p) + \frac{1}{3} = \frac{3 ( 4 p + 1 ) + ( 4 p ^{2} + 2 )}{3 ( 4 p ^{2} + 2 )} = \frac{( 2 p + 1 ) ( 2 p + 5 )}{3 ( 4 p ^{2} + 2 )}

であり、 $p ≧ - \frac{1}{2}$ では $2 p + 1 ≧ 0$ 、 $2 p + 5 > 0$ だから $g (p) ≧ - \frac{1}{3}$ である。よって整数となる可能性があるのは $0, 1$ だけである。 $g (p) = 0$ のとき、分母は正なので $4 p + 1 = 0$ より $p = - \frac{1}{4}$ である。これは $p ≧ - \frac{1}{2}$ を満たす。 $g (p) = 1$ のとき $4 p + 1 = 4 p^{2} + 2$ すなわち $(2 p - 1)^{2} = 0$ であるから $p = \frac{1}{2}$ である。これも $p ≧ - \frac{1}{2}$ を満たす。

したがって求める実数 $p$ は $p = - \frac{1}{4}, \frac{1}{2}$ である。

北海道大学 1991年度文系数学 前期 第1問

問題

方針

解答

北海道大学 1991年度
文系数学前期第1問