問題
円周を6等分する点を時計まわりの順に，，，，，とし，点を出発点として小石をおく．サイコロをふり，偶数の目が出たときは2，奇数の目が出たときは1だけ小石を時計まわりに分点上進めるゲームを続け，最初に点にちょうど戻ったときを上がりとする
(1) ちょうど1周して上がる確率を求めよ．
(2) ちょうど2周して上がる確率を求めよ．
方針
各回の移動量は1または2で、それぞれ確率 である。1周で上がる場合は累計が6になる列を数えればよい。2周で初めて上がるには、累計6を踏まないために累計5から2を出して7へ進み、その後さらに5だけ進む必要がある。この分解を、和が指定値になる1と2の列の数え上げで処理する。
解答
(1)
1回の操作で進む数は または であり、それぞれ確率は である。累計が になった瞬間に点 に戻る。進む数は正なので、累計が初めて になる列は、単に和が である列を数えればよい。
移動量 が 回出るとすると、移動量 は 回出る。したがって操作回数は であり、その並べ方は 通りである。 が可能だから、求める確率は
である。
(2)
2周で初めて上がるには、累計 には止まらず、累計 に初めて到達しなければならない。1回で進む量は最大 なので、累計 を踏まずに通過するには、累計 から を出して累計 になるしかない。
まず、累計が になる確率を求める。移動量 が 回出るとすると、移動量 は 回で、操作回数は 回である。したがって
である。
累計 から に進むには次に が出る必要があり、その確率は である。累計 から までは、再び合計 だけ進めばよい。途中では累計 未満なので点 には戻らない。よって求める確率は である。
別解。 を、移動量1と2の列の和がちょうど になる確率とする。正の移動だけなので、和が になる前に を超えることはない。初期値は 、 で、 では最後の一手が1または2だから である。これより となる。したがって(1)は 、(2)は と求められる。