北海道大学 1990年度理系数学前期第2問解答・解説

問題

(1) 任意の正の整数 $n$ に対して，不等式 $2^{n + 1} > n (n + 1) + 1$ が成り立つことを証明せよ．

(2) 各正の整数 $n$ に対し，不等式 $2^{m} ≦ nm + 1$ を満たす正の整数 $m$ の個数を $a_{n}$ とするとき， $a_{n} ≦ n$ が成り立つことを証明せよ．

出典：北海道大学 1990年度前期日程第2次学力試験理系前期第2問

方針

(1)は指数関数と2次式の比較なので、初期値を確認したうえで帰納法を用いる。帰納法の段階では、次の2次式との差を明示し、どこから正になるかを確認する。(2)は条件を満たす $m$ が $n + 1$ 以上だと仮定し、(1)を $m - 1$ に適用して不等式 $2^{m} ≦ nm + 1$ と矛盾させる。

解答

(1)

$n = 1$ のとき $2^{2} = 4 > 1 \cdot 2 + 1 = 3$ であり、 $n = 2$ のとき $2^{3} = 8 > 2 \cdot 3 + 1 = 7$ である。

次に、ある $n ≧ 2$ で $2^{n + 1} > n (n + 1) + 1$ が成り立つと仮定する。このとき $2^{n + 2} = 2 \cdot 2^{n + 1} > 2 {n (n + 1) + 1}$ である。ここで $2 {n (n + 1) + 1} - {(n + 1) (n + 2) + 1} = 2 n^{2} + 2 n + 2 - (n^{2} + 3 n + 3)$ より $2 {n (n + 1) + 1} - {(n + 1) (n + 2) + 1} = n^{2} - n - 1$ である。 $n ≧ 2$ ならば $n^{2} - n - 1 ≧ 1$ なので $2 {n (n + 1) + 1} > (n + 1) (n + 2) + 1$ である。したがって $2^{n + 2} > (n + 1) (n + 2) + 1$ が従う。よって数学的帰納法により、任意の正の整数 $n$ について $2^{n + 1} > n (n + 1) + 1$ が成り立つ。

(2)

条件を満たす正の整数 $m$ が $m ≧ n + 1$ を満たすと仮定する。このとき $n ≦ m - 1$ であるから $nm + 1 ≦ m (m - 1) + 1$ である。

一方、(1)を正の整数 $m - 1$ に適用すると $2^{m} > (m - 1) m + 1$ となる。したがって $2^{m} > m (m - 1) + 1 ≧ nm + 1$ であり、これは条件 $2^{m} ≦ nm + 1$ に反する。

よって条件を満たす $m$ は $1, 2, \dots, n$ の中に限られる。この集合には $n$ 個しか正の整数がないので、条件を満たす個数 $a_{n}$ について $a_{n} ≦ n$ が成り立つ。

北海道大学 1990年度理系数学 前期 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

北海道大学 1990年度
理系数学前期第2問