問題
第1象限にある曲線が次の条件(i)と(ii)を満たすとき，を求めよ．
(i) 上の任意の点におけるの接線は軸，軸と交わり，その交点をそれぞれ，とすると，点は線分をに内分する．
(ii) 原点から上の点への距離の最小値は1である．
出典：北海道大学 1990年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第4問
方針
接線の両軸との交点を切片で表し、内分条件からその切片と点 の関係を出す。そこから接線の傾きが であることを読み取り、曲線上では が一定になると見る。最後に 上の点と原点との距離の2乗を の関数として最小化し、定数 を決める。
解答
曲線上の点を とする。第1象限にあるので 、 である。接線が 軸、 軸と交わる点をそれぞれ とおく。
点 が線分 を に内分するとは、 ということである。したがって である。よって となる。
接線の傾きは、切片表示から である。一方、曲線 の接線の傾きは なので を得る。この式から
である。したがって とおける。第1象限の曲線なので であり、 である。
次に条件(ii)を用いる。原点から曲線上の点 までの距離の2乗を とすると である。 とおけば で となる。この関数を とすると であるから、最小は を満たすところで起こる。このとき なので である。最小距離が だから最小の は であり、 より である。さらに から である。 より となる。したがって である。