問題
関数について，次の問に答えよ．ただし，は実数とする．
(1) がすべての実数に対し正となるためのの範囲を求めよ．
(2) が(1)の範囲にあるとき，曲線と軸および2直線，で囲まれた図形の面積をとする．の最小値を求めよ．
出典：北海道大学 1990年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第3問
方針
(1)は と置き、 上で常に正となる条件へ変換する。 の符号を先に分け、 のもとで分母を払って2次式の最小値を調べる。(2)は(1)の範囲で が正なので面積をそのまま積分し、得られた の2次式の頂点が条件範囲内にあることを確認する。
解答
(1)
とおくと であり、 である。
まず ならば、 を十分大きくしたとき括弧内は正になり、 となる。 では であり、正ではない。したがって必要条件として が得られる。
以下 とする。このとき がすべての実数 で成り立つことは と同値である。 なので分母を払うと すなわち となる。この2次式は である。最小値は のとき だから、すべての で正となるための条件は である。
別解。 とおくと で、 のもとでは である。 の最小は、 なら で 、 なら で である。すべての で とするには、結局 、すなわち が必要十分である。
(2)
(1)の範囲では であるから、求める面積は である。各項を積分すると
だから である。したがって となる。平方完成すると
である。 なので、この頂点は許される範囲内にある。よって最小値は である。