北海道大学 1990年度
後期・理系数学 後期 第4問

解答

(1)

接点を $P(a,b)$ とする。$C_2:y=\log x$ 上の点なので $a>0$ である。

値が一致することから $c{a}^m=\log a$ である。また、2曲線が同じ接線をもつので、接点での傾きも一致する。$y=c{x}^m$ の傾きは $mc{x}^{m-1}$、$y=\log x$ の傾きは $\frac{1}{x}$ だから $mc{a}^{m-1}=\frac{1}{a}$ である。両辺に $a$ を掛けると $mc{a}^m=1$ すなわち $c{a}^m=\frac{1}{m}$ となる。値の一致式と比べて $\log a=\frac{1}{m}$ であるから $a=e^{1/m}$ である。したがって $b=\log a=\frac{1}{m}$ であり、さらに $c=\frac{1}{m{a}^m}=\frac{1}{me}$ である。

(2)

$C_2:y=\log x$ は $x=1$ で $x$ 軸と交わる。また、接点の $x$ 座標は $a=e^{1/m}>1$ である。

ここで $h(x)=c{x}^m-\log x$ とおくと、$1\leqq x\leqq a$ において $h^{\prime }(x)=mc{x}^{m-1}-\frac{1}{x}=\frac{x^m-e}{ex}$ である。$x<a=e^{1/m}$ では $x^m<e$ なので $h^{\prime }(x)<0$、また $h(a)=0$ である。したがって $1\leqq x\leqq a$ では $C_1$ が $C_2$ の上にある。

よって囲まれた面積は $S={\int }_0^{1}c{x}^{m}dx+{\int }_1^a(c{x}^m-\log x)dx$ であり、まとめて $S={\int }_0^{a}c{x}^{m}dx-{\int }_1^a\log xdx$ と書ける。したがって $S=\frac{c{a}^{m+1}}{m+1}-{\left[x\log x-x\right]}_1^a$ である。後半は ${\int }_1^a\log xdx=a\log a-a+1$ なので $S=\frac{c{a}^{m+1}}{m+1}-(a\log a-a+1)$ である。

(1)より $a=e^{1/m}$、$c=\frac{1}{me}$、$\log a=\frac{1}{m}$ を代入する。まず

であり、$a\log a-a+1=\frac{e^{1/m}}{m}-e^{1/m}+1$ である。よって $S=\frac{e^{1/m}}{m(m+1)}-\frac{e^{1/m}}{m}+e^{1/m}-1$ となる。係数をまとめると $\frac{1}{m(m+1)}-\frac{1}{m}+1=\frac{m}{m+1}$ であるから $S=\frac{m{e}^{1/m}}{m+1}-1$ である。