北海道大学 1990年度後期・理系数学後期第3問解答・解説

問題

$n$ が正の整数のとき，数直線上の区間 $[0, 2]$ が $n$ 個の小区間に分けられているとする．ただし，各小区間の長さ $l_{k}$ $(k = 1, 2, \dots, n)$ はすべて $1 ≦ 3 n l_{k} ≦ 15$ を満たすとする．正の数 $a$ に対し

S_{n} = (l_{1})^{a} + (l_{2})^{a} + \dots\dots + (l_{n})^{a}

とおく．

(1) $a > 1$ ならば $n \to \infty lim S_{n} = 0$ であることを示せ．

(2) $n \to \infty lim S_{n} = \infty$ となる $a$ の範囲を求めよ．

出典：北海道大学 1990年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第3問

方針

条件から各小区間の長さは $\frac{1}{3 n}$ 以上 $\frac{5}{n}$ 以下で、総和は区間全体の長さ $2$ である。(1)では $a > 1$ により $l_{k}^{a} = l_{k} l_{k}^{a - 1}$ を上から評価する。(2)では $0 < a < 1$ のとき指数 $a - 1$ が負になるため不等号の向きが逆転することを使い、下から無限大へ押し上げる。 $a = 1$ と $a > 1$ も別に確認する。

解答

(1)

条件 $1 ≦ 3 n l_{k} ≦ 15$ より $\frac{1}{3 n} ≦ l_{k} ≦ \frac{5}{n}$ である。また、 $[0, 2]$ を分割しているので $l_{1} + l_{2} + \dots + l_{n} = 2$ である。 $a > 1$ とする。このとき $a - 1 > 0$ であり、 $l_{k} ≦ \frac{5}{n}$ から $l_{k}^{a - 1} ≦ (\frac{5}{n})^{a - 1}$ である。したがって $l_{k}^{a} = l_{k} l_{k}^{a - 1} ≦ l_{k} (\frac{5}{n})^{a - 1}$ となる。これを $k = 1, 2, \dots, n$ について足し合わせると

0 ≦ S_{n} ≦ (\frac{5}{n})^{a - 1} (l_{1} + \dots + l_{n}) = 2 (\frac{5}{n})^{a - 1}

である。 $a - 1 > 0$ だから右辺は $n \to \infty$ で $0$ に近づく。よって $lim_{n \to \infty} S_{n} = 0$ である。

(2)

まず $0 < a < 1$ とする。このとき $a - 1 < 0$ であるから、 $l_{k} ≦ \frac{5}{n}$ より $l_{k}^{a - 1} ≧ (\frac{5}{n})^{a - 1}$ となる。したがって $l_{k}^{a} = l_{k} l_{k}^{a - 1} ≧ l_{k} (\frac{5}{n})^{a - 1}$ であり、足し合わせて

S_{n} ≧ (\frac{5}{n})^{a - 1} (l_{1} + \dots + l_{n}) = 2 (\frac{5}{n})^{a - 1}

を得る。これは $2 \cdot 5^{a - 1} n^{1 - a}$ であり、 $1 - a > 0$ なので $n \to \infty$ で無限大に発散する。

一方、 $a = 1$ のときは $S_{n} = l_{1} + l_{2} + \dots + l_{n} = 2$ で一定である。また $a > 1$ のときは(1)より $S_{n}$ は $0$ に近づく。したがって $lim_{n \to \infty} S_{n} = \infty$ となる $a$ の範囲は $0 < a < 1$ である。

北海道大学 1990年度後期・理系数学 後期 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

北海道大学 1990年度
後期・理系数学後期第3問