問題
平面上に点，，をとり，とを通る直線を，とを通る直線をとする．
(1) 行列の表す1次変換が次の条件(i)と(ii)を満たすための，，，の条件を求めよ．
(i) はをに移し，をに移す．
(ii) による，の像それぞれ，とすると，とは面積が等しい．
(2) 1次変換が(1)の条件を満たしながら変わるとき，点のによる像はどのような図形を描くかを調べ，それを図示せよ．
出典：北海道大学 1990年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期 第2問
方針
直線 はそれぞれ の方向をもつので、 を基準にして 、 とおく。面積条件は倍率の積の絶対値が1であることを意味する。標準座標で行列成分を出し、さらに点 を の一次結合で表して移った先の座標から を消去し、2本の双曲線を得る。
解答
(1)
直線 は の方向、直線 は の方向をもつ。条件(i)より、0でない実数 を用いて と書ける。
このとき の面積は、 の面積の 倍である。条件(ii)より すなわち である。
標準座標で行列を求める。任意の点を の係数で表すため、
とおくと、標準座標での行列は
である。計算すると
となる。したがって求める条件は、ある実数 が存在して を満たし、行列が上の形で表されることである。
問題文の成分 で言い換えると である。
(2)
点 を と表す。成分を比較すると であるから
である。特に である。 とおくと だから である。よって
となる。 より であり、両辺を2倍して を得る。 のとき であり、 のとき である。したがって点 が移る先は、原点を中心とし、漸近線を とする2本の双曲線 を描く。前者は左右に開き、後者は上下に開く。