北海道大学 1990年度後期・理系数学後期第1問解答・解説

問題

平面上の直線 $y = 2 (cos θ + sin θ) x - 1 - sin 2 θ$ を $l_{θ}$ とする．ここで $θ$ は $0 ≦ θ ≦ \frac{3 π}{4}$ を満たす実数とする．

(1) $a = cos θ + sin θ$ とするとき， $a$ の値の範囲を求めよ．

(2) $θ$ を動かすとき直線 $l_{θ}$ が通る点全体の集合を $D$ とする． $D$ を図示せよ．

出典：北海道大学 1990年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第1問

方針

まず $a = cos θ + sin θ$ の範囲を三角関数の合成で求める。次に $sin 2 θ = a^{2} - 1$ を用いて直線を $y = 2 a x - a^{2}$ 、 $0 ≦ a ≦ 2$ の1変数族にする。点全体の集合は、固定した $x$ に対して2次式 $2 a x - a^{2}$ が取り得る値の範囲を調べ、端点と頂点の位置で場合分けして図示する。

解答

(1)

三角関数を合成すると $a = cos θ + sin θ = 2 cos (θ - \frac{π}{4})$ である。 $0 ≦ θ ≦ \frac{3 π}{4}$ より $- \frac{π}{4} ≦ θ - \frac{π}{4} ≦ \frac{π}{2}$ である。この区間で $cos$ の値は $0$ から $1$ までをすべて取るので $0 ≦ a ≦ 2$ である。

(2)

$a^{2} = (cos θ + sin θ)^{2} = 1 + sin 2 θ$ だから $1 + sin 2 θ = a^{2}$ である。したがって直線 $l_{θ}$ は $y = 2 a x - a^{2} (0 ≦ a ≦ 2)$ と表される。

固定した $x$ に対し $g (a) = 2 a x - a^{2}$ とおく。これは $a$ について上に凸ではなく、下に開く2次式で、頂点は $a = x$ にある。 $a$ の範囲は $0 ≦ a ≦ 2$ であるから、最大値は頂点が範囲内にあるかどうか、最小値は端点 $a = 0, 2$ の比較で決まる。

端点での値は $g (0) = 0, g (2) = 22 x - 2$ である。 $x < 0$ のとき、 $g (a)$ は範囲内で減少するので $22 x - 2 ≦ y ≦ 0$ である。 $0 ≦ x ≦ \frac{1}{2}$ のとき、頂点 $a = x$ は範囲内にあり、最小値は $g (2)$ である。よって $22 x - 2 ≦ y ≦ x^{2}$ である。 $\frac{1}{2} ≦ x ≦ 2$ のとき、頂点 $a = x$ は範囲内にあり、最小値は $g (0)$ である。よって $0 ≦ y ≦ x^{2}$ である。 $x ≧ 2$ のとき、 $g (a)$ は $0 ≦ a ≦ 2$ で増加し、最大値は $g (2)$ 、最小値は $g (0)$ である。よって $0 ≦ y ≦ 22 x - 2$ である。

以上より、境界は直線 $y = 0$ 、直線 $y = 22 x - 2$ 、および $0 ≦ x ≦ 2$ の放物線 $y = x^{2}$ である。図示すると、これらの境界で挟まれた領域全体が $D$ であり、 $x = \frac{1}{2}$ で直線 $y = 22 x - 2$ と $x$ 軸の上下関係が入れ替わる。

北海道大学 1990年度後期・理系数学 後期 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

北海道大学 1990年度
後期・理系数学後期第1問