問題
平面上に4点，，，が与えられている．
(1) 点がを満たしているとき，，の満たす方程式を求めよ．
(2) 点が(1)の条件を満たして動くとき，の面積を最大にするの座標を求めよ．
出典：北海道大学 1990年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第4問
方針
ベクトル条件を成分に直すと、点 の軌跡は中心と半径がすぐ分かる円になる。面積最大は、底辺 が固定されているため、点 から直線 への距離を最大にする問題に帰着する。円上の一次式 の最大値を不等式で評価し、絶対値の反対側も確認する。
解答
(1)
各点の位置ベクトルは
であるから である。したがって
となる。長さが である条件は であり、両辺を で割って を得る。
(2)
であるから、三角形の面積は
である。
(1)の円の中心を原点に移すため とおくと である。ここで であり、等号は のときに成り立つ。一方、 の最小値は なので、 の取り得る範囲は である。絶対値が最大になるのは右端の場合である。
したがって面積を最大にする点は である。このとき最大面積は である。
別解。直線 は であり、円の中心 からこの直線へ下ろした垂線の方向は である。距離を最大にする円上の点は、中心から直線と反対側へ半径1だけ進んだ点だから
となる。