北海道大学 1990年度文系数学前期第2問解答・解説

問題

放物線 $y^{2} = a x$ を $C$ ，直線 $p y = x$ を $L$ とする．ただし， $a$ と $p$ はともに正の数とする．

(1) $C$ と $L$ の交点の座標を求めよ．

(2) $C$ と $L$ で囲まれた図形を $x$ 軸のまわりに1回転して得られる回転体の体積 $V$ を求めよ．

(3) $a$ と $p$ が $a^{3} = \frac{1}{p ^{4}} (p^{3} - p^{2} - p + 2)$ を満たして動くとき， $V$ の最小値を求めよ．

出典：北海道大学 1990年度前期日程第2次学力試験文系前期第2問

方針

交点は直線を放物線に代入して求める。回転体は $x$ 方向の円板法で、外半径が放物線、内半径が直線になる範囲を確認してから積分する。(3)では条件式がそのまま $a^{3} p^{4}$ を与えるので、体積を $p$ の3次式に直し、正の範囲での最小を微分で調べる。殻法でも体積計算を検算できる。

解答

(1)

直線 $L$ は $x = p y$ である。これを $y^{2} = a x$ に代入すると $y^{2} = a p y$ であり、 $y (y - a p) = 0$ となる。したがって $y = 0, a p$ であり、対応する $x$ 座標は $x = p y$ から $(0, 0), (a p^{2}, a p)$ である。

(2)

$0 ≦ x ≦ a p^{2}$ では、放物線の上側が $y = a x$ 、直線が $y = \frac{x}{p}$ である。また $a x ≧ \frac{x}{p}$ は、この範囲で成り立つ。したがって $x$ 軸のまわりの回転体の体積は

V = π \int_{0}^{a p^{2}} {(a x)^{2} - (\frac{x}{p})^{2}} d x

であり、

V = π \int_{0}^{a p^{2}} (a x - \frac{x ^{2}}{p ^{2}}) d x = π [\frac{a}{2} x^{2} - \frac{x ^{3}}{3 p ^{2}}]_{0}^{a p^{2}}

となる。よって

V = π (\frac{a ^{3} p ^{4}}{2} - \frac{a ^{3} p ^{4}}{3}) = \frac{π a ^{3} p ^{4}}{6}

である。

別解。横向きに見て、 $0 ≦ y ≦ a p$ では左端が $x = \frac{y ^{2}}{a}$ 、右端が $x = p y$ である。円筒殻で考えると

V = 2 π \int_{0}^{a p} y (p y - \frac{y ^{2}}{a}) d y = 2 π [\frac{p}{3} y^{3} - \frac{1}{4 a} y^{4}]_{0}^{a p} = \frac{π a ^{3} p ^{4}}{6}

となり、同じ結果を得る。

(3)

条件式より $a^{3} p^{4} = p^{3} - p^{2} - p + 2$ であるから、(2)の結果は $V = \frac{π}{6} (p^{3} - p^{2} - p + 2)$ となる。ここで $h (p) = p^{3} - p^{2} - p + 2 (p > 0)$ とおくと $h^{'} (p) = 3 p^{2} - 2 p - 1 = (3 p + 1) (p - 1)$ である。正の範囲では $0 < p < 1$ で $h^{'} (p) < 0$ 、 $p > 1$ で $h^{'} (p) > 0$ なので、 $p = 1$ で最小となる。実際 $h (1) = 1$ であり、このとき条件式から $a^{3} = 1$ 、すなわち $a = 1$ も正で条件に合う。したがって $V_{m i n} = \frac{π}{6}$ である。

北海道大学 1990年度文系数学 前期 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

北海道大学 1990年度
文系数学前期第2問