問題
平面上で次の不等式を同時に満たす点の集合をとする．
(1) を図示せよ．
(2) 点が上を動くとき，の最大値を求めよ．
出典：北海道大学 1990年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第3問
方針
積の不等式は2直線 、 の間にあることを表すが、どちらが上かは交点 を境に入れ替わる。さらに第一象限条件により 軸上の区間も境界になる。(2)は固定した に対して が上側境界で最大になることを使い、境界ごとの2次関数を比較する。
解答
(1)
2直線 の交点は より 、 である。
積の不等式 は、2つの式の符号が反対または一方が0であることを意味する。したがって、第一象限での領域は次のように分かれる。 では である。 では である。 では、下側の直線 は 軸より下に来るので である。よって は を順に結んだ折れ線で囲まれる領域である。
(2)
領域内では 、 であるから、固定した に対して は が最大のときに最大となる。 では上側境界が なので であり、この範囲での最大値は のときの である。 では上側境界が なので である。この2次関数の軸 は範囲の外にあり、 では減少する。したがってこの範囲での最大値は のときの である。以上より最大値は であり、そのときの点は である。
別解。曲線 を上へ押し上げて領域 に最後に接する位置を考える。直線 に接するとき、双曲線の接線の傾き が となるので 。これと から 、 を得る。もう一方の上側境界 での接点候補は だが、この点は該当する境界部分 にない。端点では最大でも なので、やはり最大値は である。