北海道大学 1989年度
文系数学 前期 第4問

解答

【(1)】点 $P$ の $x$ 座標を $s$ とする。$P$ は原点以外なので $s\ne 0$ であり、$P=(s,f(s))=(s,a{s}^4+a^{2}s)$ である。導関数は $f^{\prime }(x)=4a{x}^3+a^2$ だから、$P$ における接線の方程式は $y-(a{s}^4+a^{2}s)=(4a{s}^3+a^2)(x-s)$ である。$y$ 軸との交点 $Q$ の $y$ 座標は $x=0$ を代入して $a{s}^4+a^{2}s-(4a{s}^3+a^2)s=-3a{s}^4$ である。したがって $OQ=|-3a{s}^4|=3|a|s^4.$ また、$P$ を通る $y$ 軸に平行な直線は $x=s$ であり、直線 $y=a^{2}x$ との交点 $R$ は $R=(s,a^{2}s)$ であるから $PR=|a{s}^4+a^{2}s-a^{2}s|=|a|s^4.$ よって $OQ:PR=3:1$ である。

【(2)】 $a>0$ のとき $f(x)=a{x}^4+a^{2}x$ は上に限りなく大きくなるので最大値をもたない。したがって $a<0$ である。

最大値をとる点を $x=t$ とする。導関数より $f^{\prime }(t)=4a{t}^3+a^2=a(4t^3+a)=0$ であり、$a\ne 0$ だから $a=-4t^3$ である。このとき $a<0$ より $t>0$ であり、$f^{\prime }(x)$ の符号は $x<t$ で正、$x>t$ で負となるので、確かに $x=t$ で最大値をとる。その最大値を $M$ とすると $M=f(t)=a{t}^4+a^{2}t=-4t^7+16t^7=12t^7.$ 直線 $y=x$ 上の点では $x$ 座標と $y$ 座標が等しい。交点の $y$ 座標が最大値 $M$ であるなら、その交点は $(M,M)$ であり、したがって $f(M)=M$ を満たす。$a=-4t^3$, $M=12t^7$ を代入すると

ここで $t>0$ であり、$48t^{12}+8t^6+1>0$ であるから、$f(M)=M$ となるのは $12t^6-1=0$ のときに限られる。よって $t^3=\frac{1}{2\sqrt{3}}$ であり、$a=-4t^3=-\frac{2}{\sqrt{3}}$ である。