北海道大学 1989年度
文系数学 前期 第3問

解答

【(1)】 $t={\log }_{3}x$ とおく。定義より $x>0$ かつ $x\ne 1$ であるから、$t\ne 0$ である。また ${\log }_{5}x=\frac{{\log }_{3}x}{{\log }_{3}5}=\frac{t}{{\log }_{3}5}$ である。したがって(I)は $1+\frac{1}{t}-\frac{2{\log }_{3}5}{t}<0$ すなわち $\frac{t-(2{\log }_{3}5-1)}{t}<0$ となる。ここで $2{\log }_{3}5-1={\log }_3\frac{25}{3}>0$ であるから、分子と分母の符号が反対になるのは $0<t<2{\log }_{3}5-1$ のときである。よって $1<x<3^{2{\log }_{3}5-1}=\frac{25}{3}$ である。

【(2)】(II)の左辺は ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{a{\log }_{3}2}=2^{-a}$ であり、右辺は ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{x(x-a+1)}=2^{-x(x-a+1)}$ である。底 $2$ は $1$ より大きいので、(II)は $-a<-x(x-a+1)$ すなわち $a>x(x-a+1)$ と同値である。これを整理すると $a>x^2-ax+x⟺a(1+x)>x(1+x).$ (1)の解では $x>1$ であり、したがって $1+x>0$ であるから、$a>x$ と同値である。

(1)のすべての解 $1<x<\frac{25}{3}$ に対して $a>x$ が成り立つには $a\geqq \frac{25}{3}$ が必要十分である。実際、上端 $x=\frac{25}{3}$ は解区間に含まれないので、等号の場合もすべての $x$ について $a>x$ となる。一方 $a<\frac{25}{3}$ なら、$\max (1,a)<x<\frac{25}{3}$ を満たす $x$ を選べるため、$a>x$ は成り立たない。よって求める範囲は $a\geqq \frac{25}{3}$ である。