問題
関数について，次の問に答えよ．ただし，は実数とする．
(1) 放物線と軸が2点で交わるとき2交点の間の距離が最大となるようなの値と，そのときの距離を求めよ．
(2) についての2次方程式が，ともに0より大きく1より小さい相異なる実数解をもつためののとりうる値の範囲を求めよ．
出典：北海道大学 1989年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第1問
方針
判別式から2交点間の距離を直接表し、その最大値を求める。後半は、上に開く放物線が区間 の中でだけ 軸を2回切る条件として、判別式、軸の位置、両端 の符号をそろえて調べる。端点で根をもつ場合は除外し、相異なる実数解であることも判別式で確認する。
解答
【(1)】 の判別式を とすると、
2交点が存在するのは のときであり、2つの根を とすれば、2次方程式の根の差より である。したがって距離を最大にするには を最大にすればよい。上の式から は のとき最大値 をとるので、求める値は である。
別解。平方完成を用いると である。2交点があるとき、交点は軸 をはさんで対称にあり、その距離は
となる。結局、根号内を最大にする問題になり、同じく が得られる。
【(2)】 が相異なる実数解をもつためにはまず である。これは すなわち である。
この範囲では、軸の位置は であり、実際に が成り立つ。放物線は上に開くので、2根がともに と の間にあるためには、さらに両端で 軸より上にあること、つまり が必要である。ここで だから、 を要する。
逆に、判別式が正で、軸が にあり、かつ なら、上に開く放物線は区間 の内部で下に沈み、そこで2回 軸を切る。したがって条件は である。