問題
正方形を底面とする直方体を考える．座標空間において，頂点を原点に，頂点を軸上におくとする．このとき，各頂点，，，を通り，平面に垂直な直線が，平面と交わる点をそれぞれ，，，とする．このとき，次の(1)，(2)を証明せよ．
% 図は省略
(1) とは垂直である．
(2) 四辺形はひし形である．
出典：北海道大学 1989年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第2問
方針
直方体の3本の辺の方向を互いに垂直なベクトルで表す。(1)は正方形の2辺の長さが等しいことを内積に反映させるだけでよい。(2)は 平面が に垂直な平面であることを使い、正射影後の2種類の辺の長さを「元の長さから法線方向成分を除いた長さ」として比較する。
解答
【準備】 を原点とし、直方体の3本の辺の方向を表すベクトルを とする。底面 は正方形だから であり、直方体なので である。頂点の取り方を としてよい。
【(1)】このとき
である。したがって
よって と は垂直である。
【(2)】 は原点、 は 軸上にあるので、 平面は に垂直な平面である。ここで とおく。任意のベクトル を 平面へ正射影したベクトルの長さの2乗は、 から 方向の成分を除いて で表される。
四辺形 の隣り合う辺の方向は と である。そこで とおくと
であるから、正射影後の 方向の辺と 方向の辺の長さの2乗はともに で等しい。また正射影は平行な線分を平行な線分に移すので、 は平行四辺形である。隣り合う2辺の長さが等しい平行四辺形だから、 はひし形である。