北海道大学 1988年度
理系数学 前期 第5問

解答

(1)

曲線は $y=\frac{a}{2}\left(e^{x/a}+e^{-x/a}\right)$ である。微分すると $y^{\prime }=\frac{1}{2}\left(e^{x/a}-e^{-x/a}\right)$ である。したがって $1+(y^{\prime }{)}^2=1+\frac{1}{4}{\left(e^{x/a}-e^{-x/a}\right)}^2$ であり、展開すると

よって $1+(y^{\prime }{)}^2={\left\{\frac{1}{2}\left(e^{x/a}+e^{-x/a}\right)\right\}}^2$ である。根号の中は長さなので正の平方根を取り、$\sqrt{1+(y^{\prime }{)}^2}=\frac{1}{2}\left(e^{x/a}+e^{-x/a}\right)$ となる。

点 $P$ は $x=0$、点 $Q$ は $x=ab$ に対応するので、弧 $PQ$ の長さは ${\int }_0^{ab}\frac{1}{2}\left(e^{x/a}+e^{-x/a}\right)dx$ である。これを計算すると

また $Q$ の $y$ 座標は $\frac{a}{2}(e^b+e^{-b})$ であり、$R=(ab,0)$ だから、線分 $QR$ は鉛直線分である。したがって $QR=\frac{a}{2}(e^b+e^{-b}).$ ゆえに $L=\frac{a}{2}(e^b-e^{-b})+\frac{a}{2}(e^b+e^{-b})=a{e}^b$ である。

(2)

条件 $a{b}^3=1$ と $a>0$、$b>0$ より $a=\frac{1}{b^3}$ である。したがって $L=a{e}^b=\frac{e^b}{b^3}(b>0)$ である。これを微分すると $L^{\prime }=\frac{e^b{b}^3-e^b\cdot 3b^2}{b^6}=\frac{e^b(b-3)}{b^4}$ である。$e^b>0$、$b^4>0$ なので、$L^{\prime }$ の符号は $b-3$ の符号で決まる。したがって $0<b<3$ で減少し、$b>3$ で増加する。よって最小となるのは $b=3$ のときである。このとき $a=\frac{1}{27}$ であり、最小値は $\frac{e^3}{27}$ である。

別解。$L=\frac{e^b}{b^3}$ は正なので、$\log L$ を考えても最小となる $b$ は同じである。 $\log L=b-3\log b$ であり、微分すると $\frac{d}{db}\log L=1-\frac{3}{b}$ である。これが0となるのは $b=3$ で、符号も負から正に変わる。したがって同じく $L_{\min }=e^3/27$ を得る。