北海道大学 1988年度理系数学前期第3問解答・解説

問題

平面上の直線 $y = 2 x$ を $L$ とし，曲線 $y = \frac{1}{2} x^{3}$ を $C$ とする． $a_{1}, a_{2}, \dots\dots, a_{n}, \dots\dots$ を次のように順に定める．

(i) $a_{1} = \frac{1}{2}$ ，

(ii) $a_{n}$ が定まったとき，点 $(a_{n}, 0)$ を通り $y$ 軸に平行な直線と $L$ との交点を $P_{n}$ とし， $P_{n}$ を通り $x$ 軸に平行な直線と $C$ との交点 $Q_{n}$ の $x$ 座標を $a_{n + 1}$ とする．

(1) $a_{n + 1}$ と $a_{n}$ との間に成り立つ関係式を求めよ．

(2) 数列 ${a_{n}}$ の一般項を求めよ．

(3) $n \to \infty lim \frac{a _{1} a _{2} \dots\dots a _{n}}{2 ^{n}}$ を求めよ．

出典：北海道大学 1988年度前期日程第2次学力試験理系前期第3問

方針

作図の定義から、 $P_{n} = (a_{n}, 2 a_{n})$ となり、水平線 $y = 2 a_{n}$ と $C : y = \frac{1}{2} x^{3}$ の交点条件から $a_{n + 1}^{3} = 4 a_{n}$ が得られる。正の数列なので $a_{n} = 2^{b_{n}}$ とおくと、指数 $b_{n}$ は1次の漸化式になる。積の極限は、 $a_{n} /2$ の指数を足し合わせる形にして、等比数列の和で処理する。別解として $c_{n} = lo g_{2} (a_{n} /2)$ を直接置くと一般項と極限がさらに見通しよく出る。

解答

(1)

点 $(a_{n}, 0)$ を通り $y$ 軸に平行な直線は $x = a_{n}$ である。これと直線 $L : y = 2 x$ との交点は $P_{n} = (a_{n}, 2 a_{n})$ である。次に、 $P_{n}$ を通り $x$ 軸に平行な直線は $y = 2 a_{n}$ である。この直線と曲線 $C : y = \frac{1}{2} x^{3}$ の交点 $Q_{n}$ の $x$ 座標が $a_{n + 1}$ であるから $\frac{1}{2} a_{n + 1}^{3} = 2 a_{n}$ である。したがって $a_{n + 1}^{3} = 4 a_{n}$ を得る。 $a_{1} = \frac{1}{2} > 0$ であり、この関係からすべての $a_{n}$ は正である。

(2)

$a_{n} > 0$ なので $a_{n} = 2^{b_{n}}$ とおける。 $a_{1} = \frac{1}{2} = 2^{- 1}$ より $b_{1} = - 1$ である。また (1) より $(2^{b_{n + 1}})^{3} = 4 \cdot 2^{b_{n}} = 2^{2 + b_{n}}$ だから $3 b_{n + 1} = 2 + b_{n}$ である。これを $b_{n + 1} - 1 = \frac{1}{3} (b_{n} - 1)$ と変形する。初期値から $b_{1} - 1 = - 2$ であるから $b_{n} - 1 = - 2 (\frac{1}{3})^{n - 1}$ となる。したがって $b_{n} = 1 - \frac{2}{3 ^{n - 1}}$ であり、 $a_{n} = 2^{1 - \frac{2}{3 ^{n - 1}}}$ である。

(3)

(2)より $\frac{a _{n}}{2} = 2^{- \frac{2}{3 ^{n - 1}}}$ である。したがって

\frac{a _{1} a _{2} \dots a _{n}}{2 ^{n}} = k = 1 \prod n \frac{a _{k}}{2} = 2^{- 2 \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{3 ^{k - 1}}} .

ここで $\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{3 ^{k - 1}} = 1 + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{3 ^{n - 1}}$ であり、 $n \to \infty$ で $\frac{1}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{3}{2}$ に近づく。よって

n \to \infty lim \frac{a _{1} a _{2} \dots a _{n}}{2 ^{n}} = 2^{- 2 \cdot \frac{3}{2}} = 2^{- 3} = \frac{1}{8}

である。

別解。 $c_{n} = lo g_{2} \frac{a _{n}}{2}$ とおくと、(1)は $\frac{a _{n + 1}}{2} = (\frac{a _{n}}{2})^{1/3}$ と同値である。したがって $c_{n + 1} = \frac{1}{3} c_{n}$ であり、 $c_{1} = lo g_{2} \frac{1}{4} = - 2$ だから $c_{n} = - \frac{2}{3 ^{n - 1}}$ である。ここから $a_{n} = 2 \cdot 2^{c_{n}} = 2^{1 - 2/ 3^{n - 1}}$ が直ちに得られ、積の極限も $c_{1} + \dots + c_{n}$ の和として同じように求まる。

北海道大学 1988年度理系数学 前期 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

北海道大学 1988年度
理系数学前期第3問