問題
空間において，球面と平面をそれぞれによって定める．
(1) 点からへ下ろした垂線の足をとする．の長さと点の座標を求めよ．
(2) がと交わってできる円をとする．点と上の点の距離の最小値を求めよ．
方針
平面 の法線ベクトル を使い、点 から平面への符号つき距離の倍率を計算して垂線の足 を求める。交円 は、球の中心である原点を に射影した点を中心とする円なので、原点から平面までの距離から半径を出す。最後は、 から平面への垂直成分 と、平面内での から円 までの最短距離を直角三角形で合成する。
解答
(1)
平面 の法線ベクトルを とおく。このとき である。点 を平面の左辺に代入すると である。したがって から平面へ下ろす垂線は法線方向に だけ戻ればよい。よって である。また である。
(2)
球 の中心は原点 、半径は2である。まず原点から平面 までの距離を求める。原点を平面の左辺に代入すると であるから、距離は である。したがって、球と平面の交円 の半径は である。
交円 の中心を とする。 は原点から へ下ろした垂線の足である。原点から平面へは法線方向に だけ進めばよいので である。
(1)で求めた と はどちらも平面 上にある。平面内での距離は
であり、
だから である。交円 の半径は1であり、 はその中心 から距離3の点である。したがって、平面内で から 上の点までの最短距離は である。
任意の に対して、 は平面 に垂直で、 は平面 上にあるから である。よって が最小となるのは が最小となるときであり、求める最小値は である。
別解。点 から交円 の中心 までの距離を先に見ると、 である。ただし、円 は を中心として平面内にあるため、空間距離を単純に としてはいけない。垂直成分 は残したまま、平面内成分だけを に縮める必要がある。この見方でも となる。