問題
曲線をとする．
次の(i)と(ii)を満たす点がただ1つであるためのの条件を求めよ．
(i) は上にある．
(ii) におけるの接線は原点を通る．
出典：北海道大学 1988年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第4問
方針
接点の 座標を とおき、曲線を 、 と見る。接線が原点を通る条件は、接線の式に を代入して と表せる。これを因数分解すると、常にある解 と、追加の2次方程式に分かれる。点 がただ1つであるには追加の実数解が存在しないことが必要十分なので、判別式を負にする。
解答
曲線を とおく。接点の 座標を とすると、接点は である。また であり、 である。
点 における接線は である。この直線が原点を通るための条件は、 を代入して となることである。 だから、これは と同値である。
整理すると である。実際に代入すると であり、展開して因数分解すれば となる。したがって は常に条件を満たす。
点 がただ1つであるためには、これ以外の実数の が存在しなければよい。なお、2次式に を代入すると なので、2次式の解が と重なることはない。よって2次方程式 が実数解をもたないことが必要十分である。
この2次方程式の判別式を とすると である。したがって である。実数解をもたない条件は だから である。よって が求める条件である。
補足。境界 または では判別式が0になり、2次方程式は1つの実数解をもつ。その解は ではないため、接点は少なくとも2つになる。したがって端点は含まれない。