北海道大学 1988年度文系数学前期第4問解答・解説

問題

$f (x) = \int_{0}^{2} ∣ t^{2} (t - x) ∣ d t$ とする．

(1) $x ≧ 0$ のとき， $f (x)$ を求めよ．

(2) $\int_{0}^{3} f (x) d x$ を求めよ．

出典：北海道大学 1988年度前期日程第2次学力試験文系前期第4問

方針

$∣ t^{2} (t - x) ∣$ では $t^{2} ≧ 0$ なので符号は $t - x$ だけで決まる。 $x ≧ 0$ のもとで、 $0 ≦ x ≦ 2$ と $x ≧ 2$ に分け、前者では積分区間を $t = x$ で割る。得た $f (x)$ は $x = 2$ で一致することを確認し、 $\int_{0}^{3} f (x) d x$ では $[0, 2]$ と $[2, 3]$ に分けて積分する。別解として、 $0 ≦ x ≦ 2$ では $f^{'} (x)$ から復元する確認もできる。

解答

(1)

$0 ≦ t ≦ 2$ では $t^{2} ≧ 0$ であるから、絶対値の符号は $t - x$ の符号だけで決まる。

まず $0 ≦ x ≦ 2$ とする。このとき $0 ≦ t ≦ x$ では $t - x ≦ 0$ 、 $x ≦ t ≦ 2$ では $t - x ≧ 0$ である。したがって $f (x) = \int_{0}^{x} t^{2} (x - t) d t + \int_{x}^{2} t^{2} (t - x) d t$ である。第1項は

\int_{0}^{x} t^{2} (x - t) d t = \int_{0}^{x} (x t^{2} - t^{3}) d t = [\frac{x}{3} t^{3} - \frac{1}{4} t^{4}]_{0}^{x} = \frac{x ^{4}}{12}

である。第2項は

\int_{x}^{2} t^{2} (t - x) d t = \int_{x}^{2} (t^{3} - x t^{2}) d t = [\frac{1}{4} t^{4} - \frac{x}{3} t^{3}]_{x}^{2} = 4 - \frac{8 x}{3} + \frac{x ^{4}}{12} .

よって $f (x) = \frac{x ^{4}}{6} - \frac{8 x}{3} + 4 (0 ≦ x ≦ 2)$ である。

次に $x ≧ 2$ とする。このとき $0 ≦ t ≦ 2$ で常に $t - x ≦ 0$ だから $f (x) = \int_{0}^{2} t^{2} (x - t) d t = \int_{0}^{2} (x t^{2} - t^{3}) d t .$ したがって

f (x) = [\frac{x}{3} t^{3} - \frac{1}{4} t^{4}]_{0}^{2} = \frac{8 x}{3} - 4 (x ≧ 2)

である。なお、 $x = 2$ ではどちらの式も $\frac{4}{3}$ となり一致する。

(2)

$0 ≦ x ≦ 3$ で必要な式は、 $[0, 2]$ と $[2, 3]$ で分かれる。よって

\int_{0}^{3} f (x) d x = \int_{0}^{2} (\frac{x ^{4}}{6} - \frac{8 x}{3} + 4) d x + \int_{2}^{3} (\frac{8 x}{3} - 4) d x .

第1項は

[\frac{x ^{5}}{30} - \frac{4 x ^{2}}{3} + 4 x]_{0}^{2} = \frac{32}{30} - \frac{16}{3} + 8 = \frac{56}{15}

である。第2項は

[\frac{4 x ^{2}}{3} - 4 x]_{2}^{3} = 0 - (\frac{16}{3} - 8) = \frac{8}{3}

である。したがって

\int_{0}^{3} f (x) d x = \frac{56}{15} + \frac{8}{3} = \frac{96}{15} = \frac{32}{5}

である。

別解。 $0 ≦ x ≦ 2$ では、上で分けた式から

f^{'} (x) = \int_{0}^{x} t^{2} d t - \int_{x}^{2} t^{2} d t = \frac{x ^{3}}{3} - (\frac{8}{3} - \frac{x ^{3}}{3}) = \frac{2 x ^{3}}{3} - \frac{8}{3}

と分かる。 $f (0) = \int_{0}^{2} t^{3} d t = 4$ を用いて積分すれば、同じく $f (x) = \frac{x ^{4}}{6} - \frac{8 x}{3} + 4$ を得る。直接積分の計算確認として有効である。

北海道大学 1988年度文系数学 前期 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

北海道大学 1988年度
文系数学前期第4問