北海道大学 1988年度文系数学前期第3問解答・解説

問題

数列 ${θ_{k}}$ が $cos θ_{k} = 1 - \frac{1}{2 k ^{2}}$ を満たすとき， $k = 1 \sum n tan^{2} \frac{θ _{k}}{2}$ を求めよ．

出典：北海道大学 1988年度前期日程第2次学力試験文系前期第3問

方針

半角公式 $tan^{2} \frac{θ}{2} = \frac{1 - c o s θ}{1 + c o s θ}$ を用いて、各項を $k$ の有理式に直す。 $1 + cos θ_{k}$ が0でないことを確認したうえで、 $\frac{1}{4 k ^{2} - 1}$ を隣り合う奇数の逆数の差に分解し、望遠和として端だけを残す。別解として実質的に別の方法を作るより、この部分分数の係数と終端を丁寧に示すことを優先する。

解答

半角公式より $tan^{2} \frac{θ _{k}}{2} = \frac{1 - c o s θ _{k}}{1 + c o s θ _{k}}$ である。ここで $cos θ_{k} = 1 - \frac{1}{2 k ^{2}}$ だから

1 - cos θ_{k} = \frac{1}{2 k ^{2}}, 1 + cos θ_{k} = 2 - \frac{1}{2 k ^{2}} = \frac{4 k ^{2} - 1}{2 k ^{2}} .

特に $1 + cos θ_{k} > 0$ であり、分母は0にならない。したがって

tan^{2} \frac{θ _{k}}{2} = \frac{\frac{1}{2 k ^{2}}}{\frac{4 k ^{2} - 1}{2 k ^{2}}} = \frac{1}{4 k ^{2} - 1} .

ここで $4 k^{2} - 1 = (2 k - 1) (2 k + 1)$ なので

\frac{1}{4 k ^{2} - 1} = \frac{1}{( 2 k - 1 ) ( 2 k + 1 )} = \frac{1}{2} (\frac{1}{2 k - 1} - \frac{1}{2 k + 1})

である。よって

k = 1 \sum n tan^{2} \frac{θ _{k}}{2} = \frac{1}{2} k = 1 \sum n (\frac{1}{2 k - 1} - \frac{1}{2 k + 1}) = \frac{1}{2} (1 - \frac{1}{2 n + 1}) = \frac{n}{2 n + 1} .

したがって求める値は $\frac{n}{2 n + 1}$ である。

補足。第1項から書き出すと

\frac{1}{2} (1 - \frac{1}{3}) + \frac{1}{2} (\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) + \dots + \frac{1}{2} (\frac{1}{2 n - 1} - \frac{1}{2 n + 1})

となり、中間の項がすべて打ち消される。ここで最後に残るのは $1$ と $- \frac{1}{2 n + 1}$ だけである。

北海道大学 1988年度文系数学 前期 第3問

問題

方針

解答

北海道大学 1988年度
文系数学前期第3問