問題
平面において，連立不等式，，の表す領域をとする．
(1) を図示せよ．
(2) 点がを動くとき，のとる値の最大値と最小値を求めよ．
方針
3本の境界直線をまず等号で描き、どちら側を取るかを不等式から確認して三角形領域を決める。値 は、 を固定すると に関して増加するので、最小は下側境界、最大は上側境界だけを調べればよい。上側境界は で切り替わるため、区間を分けて端点と頂点の値を確認する。別解として、 一定の放物線 を上下に動かす見方でも最大・最小を読める。
解答
(1)
与えられた不等式を境界直線の形に直すと である。したがって領域 は、直線 の上側で、直線 と の下側にある部分である。
3本の直線の交点を求める。 から を得る。また から を得る。さらに から を得る。よって は を頂点とする三角形である。図では、上辺は で 、右上の辺は で 、下辺は で である。
(2)
の の範囲は である。また は、 を固定すると が大きいほど大きい。したがって最小値は下側境界 上で、最大値は上側境界上で調べればよい。
まず下側境界 を考える。このとき であり、 で考える。平方完成すると であるから、最小値は で、これは 、すなわち点 で実現する。端点では である。
次に上側境界を調べる。 では だから である。この区間での最大値は端点で生じ、 であるから、この部分での最大値は である。 では だから である。この区間での最大値も端点で生じ、 であるから、この部分での最大値は である。
以上より、求める最大値と最小値は である。
別解。 を一定と見ると という下に開く放物線族になる。 を大きくすると放物線は上へ、 を小さくすると下へ平行移動する。最大値はこの放物線が三角形 に最後に触れる高さで、頂点 または を通るときの である。最小値は下辺 に接するときで、 が重解をもつ条件から 、 を得る。