問題
円を行列の表す1次変換でうつして得られる曲線をとする．ただし，，はを満たす実数とする．
(1) の方程式を求めよ．
(2) ，がを満たして動くとき，に囲まれる領域の面積の最小値を求めよ．
出典：北海道大学 1988年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第2問
方針
行列 は点 を に写す。二乗和を計算すると となるので、単位円を移して得られる曲線は中心が原点、半径が の円である。面積の最小化は、制約 のもとで を最小にする問題に帰着する。別解では、変換による面積倍率が であることを使う。
解答
(1)
単位円上の点 が、1次変換によって に移るとする。このとき
であるから である。したがって であり、展開すると もとの点は を満たすので、移された点は を満たす。逆に、 なのでこの変換はつぶれず、円周上の点がこの円周全体を動く。よって曲線 の方程式は、座標を改めて と書けば である。
(2)
(1)より、 は半径 の円である。したがって に囲まれる領域の面積 は である。条件 のもとで であるから であり、等号は のときに成り立つ。このとき なので条件にも反しない。よって である。
別解。1次変換による面積の倍率は、基本平行四辺形の面積の倍率 である。単位円の面積は だから、移して得られる領域の面積は直ちに となる。あとは上と同じく のもとで を最小化すればよい。